根的判别式第二课时 公开课

一元二次方程的解法——根的判别式

一、教学内容在教材中的地位及目标要求

“一元二次方程的解法——根的判别式”在整个一元二次方程这一章占有很重要的地位。既是一元二次方程公式法的完善和发展，也是将来学习二次函数判断函数图像与x轴的交点坐标的情况，甚至延伸到高中学习一元二次不等式、二次曲线的基础。并且利用其解决其他综合性问题。

我们通过这节课的学习，要培养学生探索能力、观察能力、归纳总结能力。并让学生感受数学的分类思想。

二、教学重点

1、了解根的判别式的意义；

2、会用根的判别式判断一元二次方程根的情况；

3、根的判别式的灵活运用，感受数学的严谨性。

三、教学难点

体会分类和转化的思想，感受数学的严谨性。

四、教学思路：本节课以学生为本，通过提出的问题引出本节课的定理，让学生自己发现并总结出定理，然后通过例题感受定理的应用。例题解完后通过一组竞赛形式的小游戏来巩固本节课的定理。发挥学生的探索意识，归纳、应用能力。而且通过竞赛形式的小游戏能调动学生做练习的积极性与团队意识。

五、教学过程

(一)创设情境，提出问题

1、我们学过哪些方法解一元二次方程？公式法解方程时，公式是什么？（学生回答）

2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？（学生回答）

3、用公式法解下列一元二次方程：(1) x2-2x-3=0

(2) x2+4x+4=0

(3) x2-x+1=0 学生完成后点评，然后提出问题：1、观察这三个方程根的情况（在数量上），你们有什么发现？2、观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？（学生讨论后给出自己的猜想）

4、对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）什么时候有两个不相等的实数根？什么时候有两个相等的实数根？什么时候没有实数根？（学生回答后提出下面的问题）

5、为什么由b2-4ac来决定？（学生讨论后回答，教师准备做释疑）

（二）出示定理

1、我们发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定：

当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当b2－4ac =0时，方程有两个相等的实数根；

当b2－4ac＜0时，方程没有实数根。

我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的判别式。

2、反之：“对于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）

当方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0 当方程有两个相等的实数根时，b2－4ac =0 当方程没有实数根时，b2－4ac＜0

”亦成立。

（三）应用定理，展示能力

1、例题分析：k取什么值时，方程x2+kx+4=0有两个相等的实数根？并求这时方程的根。解：因为一元二次方程有两个相等的实数根，所以b2-4ac= 0

即得：k2-4×1×4=0 解

得：k=±4 (1)若k=-4时，解得方程的根为：x1=x2=2 (2)若k=4时，解得方程的根为：x1=x2=-2 说明（在黑板上写出解题过程，这样让学生进一步了解定理，并感受数学的逻辑性与严密性）

2、不解方程，判断下列方程解的情况：

（1）x2=2x

(2)9x2+6x+1=0

(3)4x2+3x+1=0 （四）拓展延伸，发展能力（以小游戏的形式完成巩固练习，见课件）

1、不解方程，判断一元二次方程根的情况：

（1）2y2-3y+4=0

（2）x2-6x+9=0

（3）x2+3x=1

2、关于x的一元二次方程

x2-kx+9=0有两个相等的实数根，则k=_____ 变式1：关于x的一元二次方程

kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____ 变式2：关于x的方程

kx2-6x+9=0有实数根，则k的取值范围是_____

说明（在变式1和变式2中，要区分“一元二次方程”和“方程”的区别，“方程”包括一元二次方程和一元一次方程。让学生感受分类思想与归纳总结能力。）

（四）当堂检测

1.不解方程，判断下列方程根的情况：

（1）x2-x=0 (2)(x-1)x=-4

(3)x2+1=2x

2、求关于x的一元二次方程x2-2mx+4(m-1)=0根的情况。

说明（检查学生完成情况，这样能及时了解学生掌握本节课的情况。）

（五）作业布置

1、如果关于x的方程x2－2x＋k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_________．

2、

已知关于x的方程(k1)x(k1)x

210有两个相等的实数根，求k的值．

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