正多边形的有关计算主要内容及教案内容

课题

24．3 正多边形和圆

计划课时

本节内容正多边形和圆也是今后进一步研究圆的性质基础，在内容分析重点

难点

教

学

目

标

教材中有着承上启下的重要地位。本节课从定性，定量的两个角度去探讨，挖掘蕴涵的数学知识，把感性知识的发生与发展的过程。利用正多边形和圆的位置关系探究数量关系，把形的问题转化成了数学问题，体现了数形结合的思想。

1．了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．

2．在经历探索正多边形与圆的关系过程中，学会运用圆的有关知识解决问题，并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．

3学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力和逻辑推理能力．

4学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会到事物之间是相互联系，相互作用的．

探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算．

探索正多边形与圆的关系．

教学设计思根据教材内容和要求，在教学中参透新课标的精神，注重过程教学，注重创新教学，注重问题意识，关注学生的学习兴趣和经验，让学生主动参与学习活动，主动探索并获取知识。引导学生从数学的角度发现问题和提出问题，并用数学方法探索，研究和解决问题，能很好地达到人人都能学有用得数学的目的。

路

教学过程设计

教学过程

[活动1] 观看下列美丽的图案．

问题1 这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体．你能从这些图案中找出正多边形来吗？

问题2 你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆做出一个正多边形吗？

教师演示课件或展示图片，提出问题1．

学生观察图案，思考并指出找到的正多边形．

教师关注：

（1）

学生能否从这些图案中找到正多边形；

（2）

学生能否从这些图案中发现正多边形和圆的关系．

教师提出问题2，引导学生观察、思考．

学生讨论、交流，发表各自见解．

教师关注:

学生能否联想到等分圆周作出正多边形来．

师生活动

二次修改

[活动2] 问题1 将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论．

问题2 教师演示作图：把圆分成相等的5段弧，依次连接各个分点得到五边形．

教师引导学生从正多边形的定义入手，证明多边形各边都相等，各角都相等，引导学生观察、分析．

教师关注：

（1）学生能否看出：将圆分成五等份，可以得到5段相等的弧，这些弧所对的弦也是相等的，这些弦就是五边形的各边，进而证明五边形的各边相等；

（2）学生能否观察发现圆内接五边形的各内角都是圆周角；

（3）学生能否发现每一个圆周角所对弧都是三等份的弧；

（4）学生能否利用这些圆周角所对的弧都相等，证明五边形的各内角相等，从而证明圆内接五边形是正五边形．

教师带领学生完成证明过程．

教师提出问题2，学生思考，同学间交流，回答问题．

教师关注：学生是否会仿造证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形．

教师根据学生的回答给以总

如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？

问题3

各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果结：

将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形．

教师提出问题3，学生讨论，思考回答．教师关注：

（1）学生能否利用正多边形定义进行判断；

（2）学生能否由圆内接多边是，说明为什么？如果不是，举出反例．

形各边相等，得到弦相等及弦所对的弧相等，进而证明圆内接多边形的各内角相等；

（3）学生能否举出反例说明各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形．

教师讲评．

[活动3] 学生观看课件，理解概念．

教师演示课件，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念．

教师引导学生画出正六边形图形，进行分析．

教师关注：

（1）学生能否知道欲求地基的周长和面积，需要先求正六边形的边长和边心距；

（2）学生能否将正六边形的边长、半径和边心距集中在一个三例题1

有一个亭子（如图）它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1 m2）．

角形中来研究．

（3）学生能否将正六边形的中心与顶点连接起来，将正六边形分割成6个全等的等腰三角形，去

完成教材第105页例题

[活动4]

小节

学完这节课你有哪些收获？

思考题

问题1：

正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？

问题2 正n边形的半径，边心距，边长又有什么关系？

学生自己总结，不全面的由其他学生补充完善．

教师重点关注：不同层次学生对本节知识的理解、掌握程度．

学生独立完成，教师批改、总结，重点关注：

（1）对学生在练习中出现的问题，有针对性地给予分析；

（2）学生面对探究性问题的

发现每个等腰三角形的顶角就是中心角，腰是半径，底边是边长，底边上的高是边心距，从而可以利用勾股定理进行计算，进而能够求得正多边形的周长和面积．

教师引导学生完成例题1的解答．总结这一类问题的求解方法．

教师让学生独立完成例题2，教师巡视，个别辅导．给出正确答案．

解决方法．

作业

必做

设计

选做

教科书P107：1-4

教科书P108：5-8

正多边形和圆

板书设计

一：正多边形定义：边，角

二：探究正多边形与圆的关系：以正五边形为例

三：正多边形的各名称概念

教

学

反

思

课题

24.4圆锥的侧面积和全面积

计划课时

内容分析

本节课在学生小学学过圆锥的初步认识和和前两节学过的弧长和扇形的面积有关计算及圆柱侧面展开图的基础上，从圆锥的形成过程描述了圆锥的特征，

给出了圆锥的母线，高的概念，指明它的侧面展开图是一个扇形，而扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长，然后通过例题说明圆锥有关面积及计算。

重点

明确扇形中各元素与圆锥各个元素之间的关系．

难点

= 教

学

目

标

1.会计算圆锥的侧面积和全面积，并会解决实际问题．

2.增强了学生用数学知识解决实际问题的能力，同时还可以培养学生的空间观念．

3.引导学生对圆锥展开图的认识，培养学生空间观念，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答实际问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．

圆锥的侧面积和全面积的计算．

整节课的思路就是要使学生在‘做中学，真正体现了，以教学设计思路学生的发展为本，的课改新理念。教师不只是把新知识传授给学生，而是让学生主动去构建，但教师的引导与帮助对于学生的学习活动，而是要创设良好的环境去促进学生的学习，要引导学生通过观察，分析，猜想，概括，交流讨论等活动，来构建与此相关的知识经验。

教学过程设计

教学内容

活动1 想一想，你会解决吗？

如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，PB=15 cm，底面半径r =5 cm，要生产这种帽身10 000个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗？

（不计接缝用料和余料,π取师生活动

教师演示课件，提出问题，激发学生学习新知识的热情．

二次修改

P l 法．

3.14

A O r B ）. 教师结合图形，介绍圆锥的有关概. 念．

通过练习，使学生掌握圆锥的底面半径、高线、母线长三者之间的关系．

通过学生动手操作、教师利用几何画板动态演示，让学生观察圆锥的侧面展开图是扇形，并用所学的知识推导出圆锥的侧面积和全面积的计算公式．

教师带领学生用所学的知识解决问题，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力．

教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握．

活动5 本节课你学到了什么知识？你有什么认识？

作业

必做

设计

选做

教科书P114：1-4

教科书P115：5-10

圆锥的侧面积和全面积

一：圆锥的侧面、底面、高，母线的概念。

板书设计二：圆锥的侧面的计算公式以及全面积的计算公式。

三：例题讲解

四：习题练习

教

学

反

思

第二十四章《圆》小结

一、本章知识结构框图

二、本章知识点概括

（一）圆的有关概念

1、圆（两种定义）、圆心、半径；

2、圆的确定条件：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；

②不在同一直线上的三个点确定一个圆。

3、弦、直径；

4、圆弧（弧）、半圆、优弧、劣弧；

5、等圆、等弧，同心圆；

6、圆心角、圆周角；

7、圆内接多边形、多边形的外接圆；

8、割线、切线、切点、切线长；

9、反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。

（二）圆的基本性质

1、圆的对称性

①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。

*②圆是中心对称图形，圆心是对称中心。

2、圆的弦、弧、直径的关系

①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

* [引申] 一条直线若具有：Ⅰ、经过圆心；Ⅱ、垂直于弦；Ⅲ、平分弦；Ⅳ、平分弦所对的劣弧；Ⅴ、平分弦所对的优弧，这五个性质中的任何两条，必具有其余三条性质，即“知

二推三”。（注意：具有Ⅰ和Ⅲ时，应除去弦为直径的情况）

3、弧、弦、圆心角的关系

①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

归纳：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。

4、圆周角的性质

①定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

②在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

③推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

（三）与圆有关的位置关系

1、点与圆的位置关系

设⊙O的半径为r，OP=d则：

点P在圆内d

点P在圆上d=r；

点P在圆外2、直线与圆的位置关系

设⊙O的半径为r，圆心O到l的距离为d则：

d>r. 直线l与⊙O相交

d

直线l与⊙O相切

d=r 直线和圆只有一个公共点；

直线l与⊙O相离

d>r 直线和圆没有公共点。

3、圆与圆的位置关系

①如果两圆没有公共点，那么这两个圆相离，分为外离和内含；

如果两圆只有一个公共点，那么这两个圆相切，分为外切和内切；

如果两个圆有两个公共点，那么这两个圆相交。

②设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，圆心距为d，则：

两圆外离

d＞r2＋r1；

两圆外切

d＝r2＋r1；

两圆相交

r2－r1＜d＜r2＋r1（r2≥r1）；

两圆内切

d＝r2－r1（r2＞r1）；

两圆内含

0≤d＜r2－r1（r2＞r1）。

（四）圆的切线

1、定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

2、性质：

①圆的切线到圆心的距离等于半径。

②定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

③切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

3、判定：

①利用切线的定义。

②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。

③定理：经过半径的外端并且和这条半径垂直的直线是圆的切线。

（五）圆与三角形

1、三角形的外接圆

（1）定义：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

（2）三角形外心的性质：①是三角形三条边垂直平分线的交点；②到三角形各顶点距离相等；③外心的位置：锐角三角形外心在三角形内，直角三角形的外心恰好是斜边的中点，钝角三角形外心在三角形外面。

2、三角形的内切圆

（1）定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

（2）三角形内心的性质：①是三角形角平分线的交点；②到三角形各边的距离相等；③都在三角形内。

（六）圆与四边形

1、由圆周角定理可以得到：圆内接四边形对角互补。

*2、由切线长定理可以得到：圆的外切四边形两组对边的和相等。

（七）圆与正多边形

1、正多边形的定义

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，其外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形与圆的关系

把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这时圆叫做正n边形的外接圆。

3、正多边形的有关计算（11个量）

边数n，内角和，每个内角度数，外角和，每个外角度数，中心角αn，边长an，半径Rn，边心距rn，周长ln，面积Sn

(Sn=1/2lnrn) 4、正多边形的画法

画正多边形的步骤：首先画出符合要求的圆；然后用量角器或用尺规等分圆；最后顺次连结各等分点。如用尺规等分圆后作正四、八边形与正六、三、十二边形。注意减少累积误差。

（八）弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积公式

l弧长nR180

nR21lRS扇形＝＝

(其中l为弧长) 2360S圆锥侧＝rl

(其中l为母线长)

（九）直角三角形的一个判定

如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（十）本章常见的辅助线

课

后

反

思