3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量教学活动设计方案

高二数学理科学案

空间向量的应用—直线的方向向量与平面的法向量

教学目标：

理解直线的方向向量与平面的法向量，会用待定系数法求平面的法向量

教学重点：直线的方向向量与平面的法向量的求法

教学难点：直线的方向向量与平面的法向量的求法

教学过程：

一、问题情境

在平面向量中，我们借助向量研究了平面内两条直线平行、垂直等位置关系；在空间向量中，我们借助空间向量研究了空间内两条直线平行、垂直等位置关系，那么，能否借助空间向量刻画空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系呢？

二、概念讲解

空间线面的位置关系中，角反映了它们在方向上的差异。因此，用向量来刻画这种差异，就先要规定直线和平面的“方向”。那么，如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？

1.

直线的方向向量：我们把直线l上的方向向量e(e0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量.一条直线l有__________方向向量,这些方向向量____________. 2.直线方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量，如已知直线l上的两点A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)，则AB(x2x1,y2y1,z2z1)、AB(0,R)均是直线l的方向向量.

3.平面的法线：与平面垂直的直线叫做平面的法线

4.平面的法向量：如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量n垂直于平面，记作n.向量n叫做平面的法向量. 注：(1)平面的法向量就是平面法线的方向向量；

（2）平面的法向量有_____个；过一个定点作平面的法向量有____个. 三、典型例题

例1.在长方体AC1中，AA14，AB5，BC3，写出下列直线的方向向量(1) AB_________；AD_________；AA1_________；

AB1________；

1_________；AD（2）AC_________；（3）AC1________；BD1_________ A1C________；DB1__________

1

主备人 使用时间：2015-11-20 例2.在正方体

总结：

ABCDA1是平面ACD1B1C1D中，求证：DB1的法向量。

变式训练1：在正方体ABCDA1B1C1D中，求平面ACD1的一个法向量。

解：设平面ACD1的一个法向量为a(x,y,z),

则aAC,aAD1,从而 aAC0,aAD10.

因为AC(1,1,0),AD1(1,0,1)，所以1x1y0z0,1x0y1z0

解方程组xy0yx得到不妨取x1，则yzx1.

xzxz0所以，a(1,1,1)就是平面ACD1的一个法向量。

总结：求平面的法向量的方法—

例3：.已知A(1,1,1),B(1,0,0),C(0,1,1)（1）写出直线BC的一个方向向量；（2）设平面经过点A，且BC是的法向量，M(x,y,z)是平面内任意一点，试写出x,y,z满足的关系式。

变：在空间直角坐标系中，设平面经过点P(x0,y0,z0)，平面的法向量为e(A,B,C)，M(x,y,z)是平面内任意一点，求x,y,z满足的关系式。

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四、课堂检测

1.设直线l1的方向向量为a(2,1,2)，直线l2的方向向量为b(1,1,m)，若l1l2，则实数m的值为________. 2.若直线l垂直于平面，且l的方向向量为(t,2,4)，的法向量为(数t的值为_______. 3.已知平面___________. 4.在正方体内两个向量a(1,1,0)，b(1,0,1)，则平面的一个法向量为1,1,2)，则实2ABCDA1B1C1D中，

O是AC与BD的交点，M是CC1的中点，求证：A1O是平面MBD的法向量

5.

已知A(1,0,3),B(2,x,y)，且直线AB的一个方向向量是a(1,1,2)，则y z 6．已知空间三点A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5).

（1）．若a3，且a分别与AB,AC垂直，求向量a的坐标。

（2）．设M(x,y,z)是平面ABC内任一点，求x,y,z满足的关系式。

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