2.2.1 椭圆的标准方程优秀教案设计

椭圆的标准方程

汕头市金山中学 黄庆珍

一、教材分析

椭圆是圆锥曲线的一种．从知识的网络结构上看，椭圆的标准方程的推导过程既是曲线与方程的延续和拓展，又是后续研究双曲线、抛物线等内容的基础，在研究各种圆锥曲线的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．椭圆的定义及其标准方程的建立过程中蕴涵着坐标法，数形结合等诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究其他圆锥曲线（双曲线、抛物线）有很强的启发与示范作用。

二、教学目标

知识与能力 理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程的推导过程。

过程与方法 通过经历根据椭圆的的几何特征，建立适当的坐标系，求椭圆标准方程的过程，培养学生数形结合的数学研究能力。

情感态度与价值观 在椭圆及其标准方程的学习过程中，让学生体验数形结合思想方法，感受数学之美，在应用椭圆知识初步解决实际问题的过程中体验数学的科学价值和应用价值，培养学生严谨的科学态度。

三、教学重、难点

教学重点

椭圆的定义和标准方程

教学难点 椭圆的标准方程的推导过程

四、教法学法

1、通过天体的动态运动轨迹引入课题，为概念学习创设情境，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。

2、在标准方程的推导过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地得出标准方程的表达式。

3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。

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五、教学过程

（一）创设情境，引入新课

（问题）观察天体运动的轨迹（如右图），

轨迹的形状是什么？

（二）探究发现

形成定义

先用多媒体演示椭圆的画法，然后让学生拿出课前准备好的一块纸板、一段细绳、两枚图钉按课本上的要求画椭圆，使其尝到成功的喜悦后再提出以下问题：

问题1：在绳长不变的条件下，当两个图钉重合在一点时，画出的图形是什么？

问题2：在绳长不变的条件下，当两个图钉分开一段距离时，画出的图形是什么？

实践得出：两个图钉重合在一起时画出的是圆，分开一段距离时画出的是椭圆。

问题3：根据上面作图的实践回答：椭圆是满足什么条件的点的轨迹？

（启发、提问、师生归纳出椭圆的定义.）

定义：平面内与两个定点F1 、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距. 数学表达形式：令椭圆上任意一点为M，则有：MF1MF2＝t(t为定值). 问题4：在绳长不变的条件下，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有何变化？

实践得出：在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆），

两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）。

特别的，当F1F2>MF1MF2时，无法画出轨迹。

由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关．

（三）椭圆标准方程的推导 问题5：如何选取坐标系？

（学生回答问题后，组织学生讨论如何建立坐标系，将学生中的方案归纳起来，进行选择）

选择原则：使已知的点坐标和曲线的方程尽可能的简单

已知的点：两个定点（使之在坐标坐标轴上）

（1）建系：以F1、F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立坐标系。

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（2）设点：设M（x , y）是椭圆上任意一点，设F1F2＝2c,则F1（－c , 0）、F2（c , 0）

(注意引导学生思考为什么要设F1F2＝2c，而不是c或其它) (3) 列式：让学生自己列出：MF1MF2＝2a.（2a ＞ 2c ）

2222∴(xc)y＋(xc)y＝2a (注意引导学生思考为什么要将定值t改为2a). (4) 化简：

问题6：这个方程的形式复杂，应该化简，那么，应该如何化简？

（注意引导学生得出：应该移项平方，再移项再平方的办法）

教师引导学生一起化简，得到：（a－c）x＋ay＝a（a－c）后让学生思考：

问题7：此方程的形式虽然具有数学形式上的对称美，但仍然不够简洁，还有变形的必要，你认为应如何变形，使之更为简洁？

学生思考回答后，师生共同得出结论：

∵a、c均为定值，且a＞c，∴令a－c= b( b ＞ 0 ) , 则方程变形为：bx＋ay= a b,联想到直线的截距式方程22222222 2 2222 2222xy＋=1，

abx2y2可整理成：2+2=1. ab问题8：若椭圆的焦点在y轴，标准方程的形式又是怎样的？

（提出不必运算，让学生合情猜想，注意引导学生根据列出的两个方程形式相同，仅仅y2x2是x、y的位置互换了，作出进一步解释，得出：2+2=1. bax2y2y2x2教师指出：我们刚才得出的两个方程2+2=1和2+2=1都是椭圆的标准方程. abba问题9：两个椭圆方程中a、b、c三者大小如何？关系如何？

（a＞b，a＞c，且a、b、c＞0，且a＋b= c，一般限制a＞b＞0）. 问题10：两个椭圆方程的焦点坐标分别是什么？在哪一条坐标轴上？判断的依据是什么？

22 2x2y2y2x2（方程2+2=1的焦点坐标是F1（－c , 0）、F2（c , 0），在x轴上；方程2+2=1abba的焦点坐标是F1（0，－c ）、F2（0，c ），其判断依据是：a

与b中，a与谁对应，焦点222第3页（共4页）