3.1.1 空间向量及其加减运算国家获奖教案

第三章 空间向量与立体几何

3.1.1空间向量及其加减运算

教学目标：

㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；

㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会

用联系的观点看待事物．

教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．

教学难点：应用向量解决立体几何问题．

教学过程：

一、复习旧知

问题1、我们学***面向量的一些知识，什么叫做向量？

既有大小又有方向的量叫向量．

问题2：向量是怎样表示的呢？

向量的表示方法有：

①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．

问题3：向量相等的概念是什么？ （1）长度相等且方向相同的向量叫相等向量. （2）

向量可以自由移动。

问题4：向量的加减以及数乘向量运算法则是什么？

向量的加法：

向量的减法：

实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0. 问题5：关于向量的以上几种运算，有哪些运算律呢？

加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

二、新课引入

在平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请阅读课本P84～P85．

三、新课讲授

（一）基本概念

1、空间向量：空间中具有大小和方向的量叫做向量． 2、空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

3、向量的模：向量的大小叫向量的长度或模。即表示向量的有向线段的长度。

4、单位向量：模是1的向量。有向线段的起点与终点重合。

5、零向量：模是0的向量。零向量的方向是任意的。

6、相等向量：模相等且方向相同的向量叫做相等向量．

7、相反向量：模相等且方向相反的向量叫做相反向量．

由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．

问题6：共面向量所在的直线与异面直线有何不同？

练习：给出下列命题：其中正确的是（ ）

（1）将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；

（2）若空间向量a、b，满足aAC=A1C1

（4）若空间向量：mn、 （5）空间中任意两个单位向量必相等。

、np，则mp（二）空间向量的加法、减法、数乘向量的运算

1、空间向量的加法、减法、数乘向量的运算：

（3）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有向量b，则a=b；

OBOAAB=a+b，

， ABOBOA（指向被减向量）

OPλa

(R)

（λ >0,

λa与a方向相同,

λ<0,

λa与a方向相反）

2、空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？

⑴加法交换律：a + b = b + a；

⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；

⑶数乘分配律：λ(a + b)

=λa +λb．

3、空间向量加法的运算律要注意以下几点：

⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．

即：A1A2A2A3A3A4An1AnA1An

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首

尾相接的向量．

⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．

即：A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10．

⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．

因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．

注意：常用的关系：

（1）在平形四边形中，ABADAC，BCACAB

（2）在三角形中，ABBCCA0

（3）在长方体中，ACABADAA'

说明：（1）平行四边形ABCD平移向量

a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．

（2）始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广。

（三）举例分析

例１已知平行六面体ABCDA'B'C'D'，E为A'B'C'D'的中心（如图），

（1）化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

2、AB⑴ABBC；1ADCC'2

（2）求下列各式中的x、y、z 1、BDxAByADzAA'；

2、

AExAByADzAA'．练习:教材P86面2、3题；P89第1、2、3题

例2 学案的第5题。

（四）课堂小结（略）

⒈定义及表示⒉加减与数乘运算 （五）课后作业：《习案》作业二十七。

⒊运算律