3.1.1 变化率问题全国优秀课堂实录

3.1.1 变化率问题 邵东一中振华实验学校

李瑛

【学习目标】1. 理解平均变化率的概念，会根据具体函数求出函数的平均变化率.

2. 了解平均变化率的几何意义.

3. 体会生活中的变化率问题，体会数学的博大精深以及学习数学的意义. 【学***均变化率的概念，会求函数在某点附近的平均变化率.

【学***均变化率的概念.

【学习过程】

一．课前预习

1、阅读教材第三章引言部分，并回答：

（1）微积分的研究对象是什么？

（2）对微积分的创立作出具大贡献的是哪两位科学家？

（3）微积分的创立与哪四类问题的处理有关？

（4）微积分的核心概念之一是导数，导数工具的作用和价值有哪些？

2、阅读教材第72页~74页第3.1.2节的上面，并回答：

（1）平均变化率的概念是什么？

（2）求函数的平均变化率的步骤是什么？

（3）平均变化率的几何意义是什么？

（4）已知函数yx21，则当x2，x1

时，y

. 二．新课讲授

（一）情景引入 实例1分析：银杏树树高15米，树龄1000年；雨后春笋高15厘米，时间两天.

问：银杏树与春笋哪个生长更快？

实例2分析：物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时间t走过的路程，在运动的过程

中测得了一些数据，如下表：

t（秒）

s（米）

0 0 2 6 5 9 10 20 13 32 15 44 …

…

问：物体在0~2秒和10~13秒这两段时间内，哪一段时间运动更快？

实例3分析：现有长沙今年3月和4月中三天日最高气温记载表.

T (℃)时间

3月18日

4月18日

4月20日

30000日最高气温

3.5C18.6C33.4C

问题1：A到B和B到C这两段时间哪一段的温度差较大？

20

10A (1, 3.5)2

问题2：能不能说“温度差越大，气温变化越快？”

21020（注：3月18日为第一天）0C (34, 33.4)B (32, 18.6)3034t(d)

1

问题3：如何用温度差与时间差来表示气温变化快慢程度？

问题4：如果把气温C看作时间t的函数，即Cf(t)，则t1至t2这段时间内气温的平均变化率

如何表示？

【思考讨论】若函数关系为yf(x), 当x从x1增加到x2时，则它的平均变化率如何表示？

（二）平均变化率概念:

平均变化率：式子 ，称为函数yf(x)从x1到x2的平均变化率.

令

x

，y

，则平均变化率可表示为

即

y. xy

. x

（说明：x是一个整体符号，而不是∆与x相乘）

【定义理解】

1、平均变化率的作用：用来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.

2、式子中x，y的值可正、可负，x的值不能为0，∆y的值可以为0.

3、变式：xx2x1,x2x1x，f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)

x2x1x

归纳：求函数的平均变化率的步骤：

（1）求自变量的变化量：x=

（2）求函数值的变化量：y=

（3）计算函数平均变化率：

y=

x

思考：观察函数yf(x)的图象，平均变化率

（三）平均变化率的几何意义：

yf(x2)f(x1)表示什么几何意义？

xx2x1

总结：

平均变化率的几何意义：

2

（四）例题巩固：

例1

已知函数f(x)2x1，分别计算在区间[0，5]，[-1，1]上的平均变化率. （示范）解（1）：yf(5)f(0)(251)(201)102.

x5055

（2）：

变式1：求函数f(x)2x1在区间[m,n]上的平均变化率.

变式2：求函数f(x)kxb在区间[m,n]上的平均变化率.

【规律总结】：

一般地，一次函数f(x)kxb图像上任意两点(m,f(m))、(n,f(n))连线的平均变化率都等于

.

例2

已知函数f(x)x2. 求函数在x=1、x=2、x=3附近的平均

变化率，并判断在哪一点附近的平均变化率最大？

【小组讨论】

变式1：已知函数f(x)x2. 求函数在x=-1、x=-2、x=-3附近的平均变化率，并判断在哪一点

附近的平均变化率最大？

【规律总结】平均变化率的

越大，函数值的变化越快.

变式2：已知函数

f(x)x2，分别计算函数在下列区间上的平均变化率：

（1）[1，3]；

（2）[1，2]；

（3）[1，1.1]；

（4）[1，1.001].

3

思考题：【合作探究】

思考1：观察函数f(x)x2的图象，讨论：

当自变量x从3逼近于1时，即x逼近于0 时，其

割线AB的斜率有什么样的变化趋势？

思考2：变式2的结果趋近于2，那么2的几何意义是什么？

（五）小结归纳

通过本节课的学习，我收获了什么？

（六）当堂检测

1．在平均变化率的定义中，自变量的增量x满足（

）

A．x0

B．x0

C．x0

D．x0

2．设函数yf(x)，当自变量x由x0改变到x0x时，函数的改变量y为（

）

A．f(x0x)

B．f(x0)x

C．f(x0)x

D．f(x0x)f(x0)

3．函数f(x)3x2在区间[1，3]上的平均变化率为

. 4．函数f(x)x2x在区间[3，3+x]上的平均变化率为

. 5．一质点运动的位移s与时间t的关系是s2t1，求质点从t=1到t=2时的平均速度.

解：

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（七）知识延伸

德国著名心理学家艾宾浩斯的遗忘曲线（见PPt）

（八）作业布置

完成《学法大视野》P3940

预习教材第3.2.1节《导数的概念》

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