2.2.1 椭圆的标准方程名师教学视频（文字实录）

《§2.1.1.

椭圆及其标准方程（1）》教学设计

东圃中学

吴兴

【教学内容分析】

圆锥曲线是解析几何的主体内容，也是高中数学的重点内容，而椭圆是圆锥曲线的起始部分，通过本节课的学习，不但让学生对椭圆的知识结构有一个较清晰的认识，而且在处理问题时，让学生学会灵活运用定义，正确选用标准方程，合理的分析，准确的计算，并且为学习双曲线和抛物线奠定了基础。

【学生学习情况分析】

本班是理科重点班，此课之前，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。但由于学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，分析问题不透彻，知识体系不完整，使得学生在对椭圆定义的理解及其标准方程的灵活运用上有一定的难度。因此根据尝试教学法，教学过程中遵循“情景引入——自主探究——课堂自测——巩固运用”的四个要素，侧重学生的“练”、“思”、“究”的自主学习。通过学生的“

思”、“究”、“练”，再到教师的“讲”，

使学生的学习达到“探索有所得，研究获本质”。

【教学任务分析】

知识

技能

教

学

目

标

过程

方法

1、掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决相关问题；

2、理解椭圆标准方程的推导过程，会根据条件求椭圆的标准方程。

通过了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；通过椭圆标准方程的推导过程让学生巩固求曲线方程的常见方法，对公式能深刻理解。

情感

态度

通过对椭圆的定义、几何图形、标准方程的探索，体会椭圆的几何图形与方程之间的相互联系和相互转化的规律，感受数学的严谨性；逐步形成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。重点

椭圆的标准方程及其推导过程，及椭圆定义的应用

难点

椭圆标准方程的推导；坐标法思想的应用

王新敞【教学环节安排】

环节

教

学

问 题 设 计

先展示几张椭圆的图片（天体运动的轨道、鸟巢的俯视图），让学生教学活动设计

一、问题探究

环节一. 通过展示椭圆图片认识到椭圆在实际生活中无处不在。

激发学生的学习兴探究（1）：取一条细绳；把它的两端固定在板上的同一点F，用铅笔趣。

尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形是什么？

探究（1）回顾的圆探究（2）：取一条细绳；把它的两端固定在板上的两点F1、F2，用铅的定义

笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形是什么？

1

根据刚才的实验请同学们回答下面几个题：

1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？

2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？

3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？

思考：

结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？

通过探究（2）让学生了解到椭圆是怎么画的

学生指出试验中不变的关系和特征，教师再点评。

带领学生分别用语言文字和数学符号分别表示椭圆的定学点一：椭圆定义的文字表述：

1、在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于

(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两定点叫做椭圆的

，两焦点间的距离叫做椭圆义，让学生理解定的

. 2、椭圆定义的符号表述：

义成立的条件。

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，其中2aF1F2＞0}.

（教师板书定义）

思考：为什么2aF1F2？

（三角形两边之和大于第三边）

当2aF1F2时，其轨迹为

；

当2aF1F2时，其轨迹为

．

M

F1 F2

学点二：椭圆的标准方程

1、椭圆标准方程的推导

回顾求曲线方程的设椭圆的焦距FF＝2c，椭圆上任一点与F1、F2的距离的和等于常数5个步骤，由定义推12导曲线的标准方2a，其中a〉c〉0。

程。化简过程让学（1）

建系：以过F1、F2的直线为x轴，线段F1、F2的中垂线为y轴，生在课堂上完成，体会解析几何计算建立平面直角坐标系xOy，

的复杂性，也锻炼则

F1、F2的坐标分别为（

）、（

）。

学生的数学计算能（2）设点：设M(x,y)为椭圆上任意一点，

力。

（3）列式：则

＝2a，

即

＝2a

（4）化简：

设a2-c2=b2,则可得方

二、新知梳理

2

提问当焦点在

y轴上时，重复刚才的

这个方程叫做椭圆的标准方程（焦点在x轴上）

。

步骤可以得到另一

2、

思考：a,b,c的几何意义是什么？

个标准方程

（让学生在几何图形中找到表示三个字母的线段）

3、如果椭圆的焦点在y轴上，则焦点F1、F2的坐标分别为（

）、让学生比较两种方（

）。可以得到椭圆方程为：

程的相同和不同

程：

，

1、完成下列表格：

椭圆标准方程

a

b

c

三、堂上自测

x2y21

259x2y21

1625

8x23y224

堂上自测两道题较焦点坐标

简单，主要考察了学生对标准方程形式和特点的理解，注意哪一项分母较大，焦点就在哪一个轴上。

注意学生写错。

2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程

1）a4,b1,焦点在x轴上的椭圆的标准方程为

;

2)a4,c15,焦点在y轴上的椭圆的标准方程为

;

题型一

求椭圆的标准方程

题型一是求椭圆的【例1】已知椭圆两个焦点的坐标分别是(2,0),(2,0)，并且经标准方程的两种常四、典例剖析

53过点(,)，求它的标准方程．

22用方法的介绍，教师在黑板上板书待定系数法和定义法。

题型二是椭圆定义的直接应用，教师点同学起来回答

题型二

椭圆定义的应用

x2y2【例2】

如图所示，已知过椭圆25＋16＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点.（1）求△AF1B的周长.（2）若直线AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？

3

选做题根据时间灵【选做】

求焦点在坐标轴上，且经过M(3，－2)和N(－23，活处理，方法不唯一，不同技巧的设1)两点的椭圆的标准方程. 椭圆方程，简化运

算，提高学生思维

五、课堂小结

课堂小结：及时复习本节课的椭圆的定义和标准方程。

2.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法.

课后作业（A组）：

1、动点B到两定点F1（4，0），F2（-4，0）的距离之和为10，则点B的轨迹方程为

。

课后作业是针对本节课教师讲评的新课之后出的相应练习，同学们课下完成。

课后作业分为A组和B组习题，有效的对学生进行了分层训练。

六、课后作业

2、已知椭圆上的点M（3,2）且两个焦点分别是F1（0，-2），F2（0，2），那么这个椭圆的标准方程为

。

x2y21上一点M到左焦点F1的距离为2，N是M F1的3．椭圆259中点，则ON=（

）

（A）2

（B）4

（C）

8

（D）

3

24、写出适合条件ab10,c25的椭圆的标准方程。

（B组）：

5．已知定点A（-1，0），B是圆F：(x1)y9上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，求动点P的轨迹方程。

22

4