2.2.1 椭圆的标准方程优秀导入

椭圆及其标准方程教案

普宁市华侨中学

方春卿

一、教学内容

新课标人教版选修2-1第二章第二节第一课时内容：2.2.1椭圆及其标准方程

二、教材分析

教材的地位与作用

⑴从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练；

⑵从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础. 所以说，无论从教材内容，还是从教学方法上都起着承上启下的作用.本小节安排两课时：

第一课时:椭圆的定义及标准方程的推导；第二课时:运用椭圆的定义求曲线的轨迹方程. 三、课程目标

⑴知识目标：

①掌握椭圆的定义及其标准方程；

②通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法. ⑵能力目标:通过自我探究、操作、数学思想（待定系数法）的运用等，从而提高学生实际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力. ⑶情感目标:在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会形数美的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，勇于创新的精神.

四、重点和难点

重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程；

难点：椭圆标准方程的建立和推导. 五、教学过程与方法目标

（一）设置情景，导入新课

1、（借助多媒体）先演示本章开头语中用一些图片引出今天要研究的图形（椭圆）；今天我们就着手研究这个内容.

2、（借助多媒体）展示图片

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【设计意图】让学生明确椭圆与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系，激发学生的求知欲.

（二）尝试画图、形成感知

1、动手画椭圆

（1）请学生拿出课前准备的硬纸板、细线、铅笔，同桌一起合作画椭圆. （2）动画演示椭圆的形成过程.（动画1）

2、同学们作完图、观察完演示后，思考下面问题：

（1）在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？

（2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？

（3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？

（4）结合实验，你应如何给椭圆下定义？定义含有几个要点？

3、教师再进一步明确椭圆概念、焦点、焦距概念，强调形成椭圆的条件. （三）探究椭圆的标准方程

1、复习求动点的轨迹方程的基本步骤

（由学生回答，不正确的教师给予纠正）

2、椭圆标准方程的探求

⑴建系

让学生自己动手试一试如何恰当地建立坐标系. 教师巡回察看各个同学的建系情况，然后让几个同学说出自己建系的依据，师生共评，寻找最佳方案. 【学情预设】学生可能会建系如下几种情况：

方案一：把F1、F2建在x轴上，以F1F2的中点为原点；

方案二：把F1、F2建在x轴上，以F1为原点；

方案三：把F1、F2建在x轴上，以F2原点；

方案四：把F1、F2建在x轴上，以F1F2与x轴的左交点为原点；

方案五：把F1、F2建在x轴上，以F1F2与x轴的右交点为原点；

经过比较确定方案一. 以两定点F1、F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐

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标系（如图1）．设F1F22cc0，则F1c，0．

0，F2c，已知图形，建立直角坐标系的一般要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系.

⑵设点

设Mx，y为椭圆上的任意一点，M与F1、F2的距离的和等于2a(2a2c)．

由定义得到椭圆上点（图1）

M的集合为PMMF1MF22a．

⑶列式

将条件式MF1MF22a代数化，得

xc2y2xc2y2⑷化简

先让学生各自在练习本上自行化简，教师巡视. 2a

（*）

预测学生问题：①若学生采用两次平方的方法化简，最后应得到

a2c2x2a2y2a2a2c2

（* *）

在此过程中，教师一边巡视，一边给予指导和提示，然后选出1—2位学生的推导过程展示出来，并请学生本人作简要陈述．

②b的引入

22由椭圆的定义可知，2a2c,ac0，

yMba0cF2x让点M运动到y轴正半轴上（如图2），由学生观察图形自行获得a，c的几何意义，进而自然引进b，此时F1b2a2c2，于是得b2x2a2y2a2b2，

图2两边同时除以ab，得椭圆的标准方程为: 22x2y21ab0．

a2b2

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③教师对标准方程的说明

ⅰ.椭圆的标准方程既简洁整齐，又对称和谐；

ⅱ.上述方程表示焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆，其中cab；

222x2y2ⅲ.以上的推导过程，没有证明“以满足方程221的实数对(x,y)为坐标的点都ab在椭圆上”，有兴趣的同学可在课后自行证明；

ⅳ.如果椭圆的焦点在y轴上，并且焦点为F1(0,c),F2(0,c),则椭圆方程为y2x2x2y221ab0，这也是椭圆的标准方程，它可以看成将方程221中的x,y2abab对换而得到的；

ⅴ.对于给定的椭圆的标准方程，要判断焦点在哪个轴上，只需比较与x与y项分母的大小即可．若x项分母大，则焦点在x轴上；若y项分母大，则焦点在y轴上．

ⅵ.对椭圆的两种标准方程，都有ab0，焦点都在长轴上，且a、b、c始终满足2222c2a2b2

（四）、实例演练

口答：

x2y2x2y22.221，1.221，4653

x2y2x2y23.1 4.1 9674

快速练习1：判定下列椭圆的焦点在那条轴上?并指出焦点坐标。

x2y2x2y2(2)1(1)1144169

2516

快速练习2：求椭圆的焦点坐标与焦距

x2y2x2y2(1)1(2)115625169

3、写出适合下列条件的椭圆的标准方程

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已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；

变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)，

结果如何？

变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，

结果如何？

尝试高考

x2y21．(2017·韶关市）椭圆＋＝1的一个焦点坐标是(

) 54A．(3,0)

B．(0,3) C．(0,1)

D．(1,0) x2y22．(2018.惠州)设P是椭圆＋＝1的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于

49(

) A．4

B．8

C．6

D．18 （五）、回顾小结，归纳提炼

1、先让学生思考，然后填表. 定

义

图

形

标准方程

a、b、c的关系

焦

点

焦点位置的判断

2、求曲线方程的一般方法步骤：

建系设点－列等式－代坐标－化简方程

3、求椭圆方程常用方法：待定系数法

（六）、板书设计

1、椭圆的定义

2、有关概念

3、椭圆标准方程

（1）焦点在x轴上

课

题

标准方程的推导

例1（要点）

练习

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（2）焦点在y轴上

（七）布置作业

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

x2y21 259

两个焦点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；

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