3.2.3 空间的角的计算教学设计及课堂实录

第3课时

空间向量与空间角

π1．三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，3π2ππ2πππ则二面角A-BD-C的大小为(

)

A.

B.

C.或

D.或

3333632．直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝12302CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(

)

A.

B.

C.

D.

1051023．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值为(

) 2321A.

B.

C.

D.

33334．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是(

)A．30°

B．45

C．60°

D．90°

5．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(

) 1223A.

B.

C.

D.

24226．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于(

) A.101542

B.

C.

D.

55537．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中点，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为________．

8．已知直线l1的一个方向向量为v1＝(1，－1，2)，直线l2的一个方向向量为v2＝(3，－3，0)，则两直线所成角的余弦值为________．

9.(2015·四川卷)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cos θ的最大值为________．

10. 正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A-BD-C的正弦值为________．

11．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．

12.如图，BD⊥平面ABC，AE∥BD，AB＝BC＝CA＝BD＝2AE＝2，F为CD的中点．

(1)求证：EF⊥平面BCD. (2)求点A到平面CDE的距离．

(3)求二面角C-DE-A的余弦值．

13.如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝3，EF＝2. (1)求证：AE∥平面DCF；

(2)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？

第3课时

空间向量与空间角

1-6: CCAABB π7．

28．

3

329.

510.

25

511．解：(1)建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．

111，，0，F，1，0，

则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E22→→1111，，－1，

EF＝－2，2，0，PE＝2设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，

11－x＋y＝0，→→22则n·EF＝0，且n·PE＝0，所以

1x＋y－z＝0.2令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)，

→|DE·n||2＋1|3所以点D到平面PEF的距离为d＝＝＝17，

|n|4＋4＋9173因此，点D到平面PEF的距离为17.

17→→|AE·n|11170，，0，所以点A到平面PEF的距离为d＝(2)因为AE＝＝＝，

2|n|1717所以AC到平面PEF的距离为

12. (1)证明：取BC的中点G，连接AG，FG，因为F，G分别为DC，BC的中点，

11所以FG∥BD且FG＝BD，又AE∥BD且AE＝BD，所以AE∥FG且AE＝FG，

2217. 17

所以四边形EFGA为平行四边形，则EF∥AG，

因为BD⊥平面ABC，所以BD⊥AG，因为G为BC的中点，且AC＝AB，

所以AG⊥BC，所以AG⊥平面BCD，所以EF⊥平面BCD.

→→→(2)解：取AB的中点O和DE的中点H，分别以OC，OB，OH所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则C(3，0，0)，D(0，1，→→2)，E(0，－1，1)，A(0，－1，0)，CD＝(－3，1，2)，ED＝(0，2，1)．设平面CDE的法向量n1＝(x，y，z)，

→n1·CD＝－3x＋y＋2z＝0，→则取n1＝(3，－1，2)，AE＝(0，0，1)，

→n1·ED＝2y＋z＝0，→|AE·n1|2点A到平面CDE的距离d＝＝.

|n1|2n1·n2(3)解：取面ABDE的法向量n2＝(1，0，0)，由cos〈n1，n2〉＝

|n1||n2|＝66＝，故二面角C－DE－A的余弦值大小为.

22244（3）＋（－1）＋2×1313.解：建系如图，设AB＝a，BE＝b，CF＝c，

则C(0，0，0)，D(0，0，a)，F(0，c，0)，A(3，0，a)，E(3，b，0)，B(3，0，0)，

→→(1)证明：AE＝(3，b，0)－(3，0，a)＝(0，b，－a)，

CD＝(0，0，→→→→a)，CF＝(0，c，0)，设AE＝λCD＋μCF，则(0，b，－a)＝(0，μc，λa)，

→→b→b所以μ＝，λ＝－1，所以AE＝－CD＋CF，

cc又AE⊄平面DCF，所以AE∥面DCF.

→→(2)因为EF＝(－3，c－b，0)，CE＝(3，b，0)

→→→且EF·CE＝0，|EF|＝2.

－3＋b（c－b）＝0，所以

23＋（c－b）＝2，解得b＝3，c＝4，

所以E(3，3，0)，F(0，4，0)．

设n＝(1，y，z)与平面AEF垂直，

→→33则n·AE＝0，n·EF＝0，解得n＝1，3，.

a→又因为BA⊥平面BEFC，BA＝(0，0，a)，

→→|BA·n|33a1所以cos〈n，BA〉＝＝＝，

→a4a2＋272|BA|·|n|9得到a＝，

29所以当AB为时，二面角A-EF-C的大小为60°. 2