一、圆锥曲线的光学性质及其应用名师教学设计2

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高三数学小专题复习之—

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题（教师版）

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”.

一、以定点为中点的弦所在直线的方程

x2y21内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线

例1、过椭圆164的方程. 解：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)



M(2,1)为AB的中点

x1x24

y1y22

又A、B两点在椭圆上，则x14y116，x24y216

两式相减得(x1x2)4(y1y2)0

于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0

22222222y1y2xx4112

x1x24(y1y2)42211，故所求直线的方程为y1(x2)，即x2y40. 222即kAB变式1：已知抛物线y4x，过点P(3,4)的直线l交抛物线于A、B两点且点P平分AB，求直线l的方程。

解：设A(x1,y1),B(x2,y2),

241y14x1(y1y2)(y1y2)4(x1x2)kAB

则282y24x2从而直线l的方程为x2y50

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y21，经过点M(1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、变式2：已知双曲线x

22B且点M是线段AB的中点.若存在这样的直线l，求出它的方程，若不存在，说明理由. 解：设存在被点M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1x22，y1y22

yy2x111，x221，两式相减，

22222得(x1x2)(x1x2)1yy2(y1y2)(y1y2)0

kAB12

2x1x2y12(x1)2故直线AB:y12(x1)，由2y2

消去y，得2x4x30

x12

(4)242380

这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l.

二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹

1y2x21的一条弦的斜率为3，它与直线x的交点恰为这条弦的中点

例2、已知椭圆27525M，求点M的坐标. 解：设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x0,y0)，则x01

2x1x22x01

，

y1y22y0

yxyx又

111，221

75257525两式相减得25(y1y2)(y1y2)75(x1x2)(x1x2)0

即2y0(y1y2)3(x1x2)0

2222y1y23

x1x22y0

ky1y2133，即y0

3



22y0x1x2[来源学科网]11点M的坐标为(,).

22

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x2y21，直线l过点P（1,1）交椭圆C于A、B两点，求AB中例3、已知椭圆C：43点M的轨迹方程。

解：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)，则

223x14y1123(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0

223x4y2123x4yy1y2y103x4y03x(x1)4y(y1)0

x1x2x1∵点P在椭圆内部，直线l与椭圆恒有两个交点，

∴点M的轨迹方程为：3x(x1)4y(y1)0

三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程[来源:Zxxk.Com]

例4、已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线l:y3x2截得的弦的中点的横坐标为1，求椭圆的方程. 2y2x222解：设椭圆的方程为221，则ab50┅┅①

ab设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x0,y0)，则

x011，y03x02

x1x22x01，y1y22y01

222222yxyx又12121，22221

abab两式相减得b(y1y2)(y1y2)a(x1x2)(x1x2)0

即b(y1y2)a(x1x2)02222[来源学科网Z,X,X,K]a2y1y2a2



23┅┅②



bx1x2b2y2x21

联立①②解得a75，b25

所求椭圆的方程是752522