1.1.3 四种命题间的相互关系特级教师教学实录

1.1.2

四种命题

1.1.3

四种命题间的相互关系

学习目标

1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题.

知识点一

四种命题的概念

思考1

初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？

答案

在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题. 思考2

除了命题与逆命题之外，是否还有其它形式的命题？

答案

有. 梳理

名称

阐释

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和互逆命题

条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中的一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题

对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的互否命题

否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题

对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的互为逆否命题

否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题

知识点二

四种命题间的相互关系

思考1

命题与其逆命题之间是什么关系？

答案

互逆. 思考2

原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系？

答案

原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系. 梳理

(1)四种命题间的关系

(2)四种命题间的真假关系

原命题

真

真

假

假

由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系. 知识点三

逆否证法与反证法

1.逆否证法

由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，所以在直接证明某一命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接证明原命题为真命题. 2.反证法

(1)反证法的步骤：

①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

③由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立. (2)反证法导出结果的几种情况：

①导出綈p为真，即与原命题的条件矛盾；

②导出q为真，即与假设“綈q为真”矛盾；

③导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾；

④导出自相矛盾的命题. 3.反证法与逆否证法的联系

(1)依据相同：都是利用原命题与其逆否命题的等价性. (2)起步相同：都是从“綈q”(即否定结论)出发(入手)；

(3)思想相同：都是“正难则反”思想的具体体现. 逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

4.反证法与逆否证法的区别

(1)目的不同：反证法否定结论的目的是推出矛盾，而逆否证法否定结论的目的是推出“綈p”(即否定条件)；

(2)本质不同：逆否证法实质是证明一个新命题(逆否命题)成立，而反证法是把否定的结论作为新的条件连同原有的条件进行逻辑推理，直至推出矛盾，从而肯定原命题的结论.

类型一

四种命题的关系及真假判断

命题角度1

四种命题的写法

例1

把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题. (1)正数的平方根不等于0；

(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；

(3)对顶角相等. 解

(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0. 逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数. 否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0. 逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数. (2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0. 逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2. 否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0. 逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2. (3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等. 逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角. 否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等. 逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角. 反思与感悟

由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论. 跟踪训练1

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题. (1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形. 解

(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数. 否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数. 逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数. (2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高.

否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等. 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高. 命题角度2

四种命题的真假判断

例2

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假. (1)若a>b，则ac2>bc2；

(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形. 解

(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题. 否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题. 逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题. (2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补.真命题. 否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形.真命题. 逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补.真命题. 反思与感悟

若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题. 原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题.互为逆否命题的两个命题的真假性相同. 在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4. 跟踪训练2

下列命题中为真命题的是(

) ①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正三角形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；

④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题. A.①②③④

B.①③④ C.②③④

D.①④

答案

B 解析

①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”.故为真命题. ②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”.故为假命题. ③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”.

1∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m<0，∴m<－<0.故为真命题. 4④原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”.

∵x不是无理数，∴x是有理数. 又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数.故为真命题. 故正确的命题为①③④，故选B. 类型二

等价命题的应用

例3

证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－

b)，则a＋b≥0. 证明

方法一

原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)

若a＋b<0，则a<－b，b<－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

假设a＋b<0，则a<－b，b<－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

因此假设不成立，故a＋b≥0. 反思与感悟

因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的.正确写出原命题的逆否命题是证题的关键，同时注意这种证明方法与反证法的区别. 跟踪训练3

证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1. 证明

“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”.∵a＝2b＋1，

∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1 ＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0. ∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题. 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证. 类型三

反证法的应用

πππ例4

若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a、b、c236中至少有一个大于0. 证明

假设a、b、c都不大于0，

即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0. 而a＋b＋c

πππ＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋

236＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.

∵π－3>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，

∴a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，

因此a、b、c中至少有一个大于0. 反思与感悟

(1)求解此类含有“至少”“至多”等命题，常利用反证法来证明.用反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确. (2)常见的一些词语和它们的否定词语对照如下：

原词

否定词语

跟踪训练4

设a，b，c∈R，且a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数. 证明

方法一

(逆否证法)依题意，就是证明命题“若a2＋b2＝c2，则a，b，c不可能都是奇数”为真命题.为此，只需证明其逆否命题“若a，b，c都是奇数，则a2＋b2≠c2”为真命题即可. ∵a，b，c都是奇数，∴a2，b2，c2都是奇数，

∴a2＋b2为偶数，而c2为奇数，∴a2＋b2≠c2. ∴原命题的逆否命题为真命题. ∴原命题也为真命题. 方法二

(反证法)假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数. ∴a2＋b2为偶数.而c2为奇数，

∴a2＋b2≠c2，与a2＋b2＝c2矛盾. ∴假设不成立，原命题成立. 等于(＝) 不等于(≠) 大于(>)

不大于(≤) 小于(<) 不小于(≥) 是

都是

至多有一个

至少有两个

至多有n个

至少有

(n＋1)个

至少有一个

一个也没有

不是

不都是

1.命题“若綈p，则q”的逆否命题为(

) A.若p，则綈q

C.若綈q，则p

答案

C 2.下列命题为真命题的是(

) A.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

B.命题“若x＝1，则x2>1”的否命题

B.若綈q，则綈p

D.若q，则p

C.命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D.命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题

答案

A 解析

对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题. 3.命题“若x>1，则x>0”的逆命题是_____________，逆否命题是_____________. 答案

若x>0，则x>1

若x≤0，则x≤1 4.在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________. 答案

4 解析

逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；

否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；

逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，

全为真命题. 5.已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”.

(1)写出命题p的否命题；

(2)判断命题p的否命题的真假. 解

(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”.

(2)命题p的否命题是真命题. 判断如下：

因为ac<0，

所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，

所以该命题是真命题.

写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误. 若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可.

40分钟课时作业

一、选择题

1.“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为(

) A.△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角

B.△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角

C.△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一钝角

D.以上都不对

答案

B 解析

若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”.

2.若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是(

) A.互逆命题

C.互为逆否命题

答案

A 解析

设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”.故q与r为互逆命题. 3.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为(

) A.a，b，c都是奇数

B.a，b，c都是偶数

C.a，b，c中至少有两个偶数

D.a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

答案

D 解析

用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数.故选D. 4.如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是(

) A.(－2，2)

C.(－2，1)

答案

D 解析

由题意，构建函数f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，

∵两个实根一个小于－1，另一个大于1，

∴f(－1)<0，f(1)<0，

∴0

) A.真、真、真

C.真、真、假

答案

A B.假、假、真

D.假、假、假

B.(－2，0) D.(0，1) B.互否命题

D.以上都不正确

解析

从原命题、逆命题的真假入手，an＋an＋1

①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是(

) A.①②

B.②③ C.③④

D.②④

答案

D 解析

根据面面垂直的判定定理可知②是真命题；根据面面垂直的性质定理“若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线必垂直于另一个平面”，可知④是真命题. 二、填空题

7.命题：“若|x|＝1，则x＝1”的否命题为______________________________. 答案

若|x|≠1，则x≠1 8.已知命题“若m－1

[1，2] 解析

由已知得，若1

9.下列命题中：

①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；

②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；

③正方形的四条边相等；

④圆内接四边形对角互补；

⑤对角不互补的四边形不内接于圆；

⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形. 其中互为逆命题的有_______；互为否命题的有_______；互为逆否命题的有_______. 答案

②和④，③和⑥

①和⑥，②和⑤

①和③，④和⑤

解析

命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断. 10.给出下面3个命题：

①函数y＝tan x在第一象限是增函数；

②奇函数的图象一定过原点；

③“若0b>1”的逆命题. 其中真命题的序号是________. 答案

③

πππ3πππππ解析

①举反例：x＝2π＋或，tan(2π＋)＝，tan＝1，因为2π＋>，tan(2π＋)b>1”的x逆命题为“若a>b>1，则0b>1，所以1＝logaa>logab>loga1＝0，即0

x211.已知命题P：lg(x－2x－2)≥0，命题Q：1－x＋<1，若命题P、Q至少有一个是真命题，42求实数x的取值范围. 解

由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1，

解得x≤－1或x≥3. x2由1－x＋<1，得x2－4x<0，解得0

①P真Q假；②P假Q真；③P真Q真. x≤－1或x≥3，当P真Q假时，有

x≤0或x≥4.

解得x≤－1或x≥4. －1

综上，满足条件的实数x的取值范围为以上三种情况的并集，即(－∞，－1]∪(0，＋∞). 12.判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假. 解

方法一

(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可. 方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真. 方法二

(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”.方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，

所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真. 113.已知：在△ABC中，∠BAC>90°，D是BC边的中点，如图所示.求证：AD

1证明

假设AD≥BC. 21(1)若AD＝BC，由平面几何中“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，则这条边所对21的角为直角”，知∠BAC＝90°，与题设矛盾.∴AD≠BC. 211(2)若AD>BC，由题意知BD＝DC＝BC，

22∴在△ABD中，AD>BD，从而∠B>∠BAD；

同理∠C>∠CAD. ∴∠B＋∠C>∠BAD＋∠CAD，

即∠B＋∠C>∠BAC. ∵∠B＋∠C＝180°－∠BAC，

∴180°－∠BAC>∠BAC，则∠BAC<90°，

与题设矛盾. 1由(1)(2)知AD