3.1.2 空间向量的数乘运算教案2

空间向量的数乘运算教学设计

蠡县第二中学

杨新贺

教材分析：

本节课在空间向量相关概念和加减法的基础上介绍了空间向量数乘运算，引出了空间向量的共线定理和共面定理及推论并加以应用。向量具有数与形的双重身份，有丰富的生活背景，是沟通几何、代数及三角的桥梁，作为处理数学问题的工具贯穿于整个高中数学的学习中。

学情分析

1.学生所学过的物理力学为空间向量提供了很好的模型。

2.

高二学生已有一定的生活经验和向量知识，这些将有助于学生对空间向量数乘运算的理解。

3. 学生已初步具备一定的分析问题与合作探究的能力。

4.思维的发展使得学生能够较为顺利地利用类比的思想进行知识的迁移与扩充。

教法分析

以“平面向量的知识”为切入点，展开本节课的知识。通过类比，比较得出空间向量数乘的概念及运算律，通过问题驱动、启发探究得出共线共面定理及推论，以讨论的方式完成对知识的应用。通过解决问题，突出空间向量的工具性及其在高中数学中的地位。

教学目标：

◇知识目标：掌握空间向量的数乘运算及运算律，理解其几何意义，并能熟练进行相关计算；

理解空间向量的共线定理和共面定理及推论；会用定理解决共线及共面问题。

◇能力目标：引导学生借助空间几何体理解空间向量数乘运算及其运算律的意义；运用类比的方法经历向量的数乘运算和向量共线定理共面定理由平面向空间的推广过程。

◇情感目标：培养学生的类比思想、转化思想及自主探究合作交流能力；培养学生的空间想象能力，能借助图形理解知识；培养学生对空间向量的应用意识。

教学重点：空间向量的数乘运算及其运算律；空间向量的共线定理与共面定理及推论

教学难点：空间想象能力的培养；思想方法的理解和应用；共线定理与共面定理的理解与应用．

教学过程：

一、课前设计

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读一读课本本章节的内容，写一写平面向量与空间向量的知识对比，完成一张手抄报。

二、课堂设计

1. 复习回顾

通过展示课前作业的方式回顾平面向量向量知识：向量基本概念，及向量加减运算。

设计意图：通过学生自主学习并复***面向量与空间向量

的知识。为学习空间向量的数乘运算及运算律做铺垫

2.空间向量的数乘及运算律探究

从学生的预习作业中找出平面向量数乘运算的知识进行复习并得出结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们. 由学生通过类比完成空间向量数乘运算及其运算律的自主学习：

设计意图：从学生熟知的知识入手，通过比较进行知识扩展，自然易懂

3.

知识升华—共线定理

提问：通过平面向量的数乘运算的得出平面共线向量基本定理，能否将其推广到空间向量呢？空间中两向量平行，他们所在的直线又是怎样的关系？

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定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作a//b．

关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：

共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 理解：⑴上述定理包含两个方面：

①性质定理：若a∥b（a≠0），则有b＝a，其中是唯一确定的实数。

②判断定理：若存在唯一实数，使b＝a（a≠0），则有a∥b（若用此结论判断a、b所在直线平行，还需a（或b）上有一点不在b（或a）上）. a⑵对于确定的和，b＝a表示空间与a平行或共线，长度为

|a|，当>0时与a同向，当<0时与a反向的所有向量. 

推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式

OPOAta．

其中向量a叫做直线l的方向向量. 推论证明如下：

∵

l//a

，

∴

对于l上任意一点P，存在唯一的实数t，使得APta．(*)

又∵

对于空间任意一点O，有APOPOA，



∴

OPOAta

，

OPOAta．

①

若在l上取ABa，则有OPOAtAB．(**) 又∵

ABOB

O

A∴

OPOAt(OBOA)(1t)OAtO．B②

当t时，OP(OAOB)．③

理解：⑴

表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．

⑵

表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式．

⑶

推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定．

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应用：对于空间任意一点O，下列命题正确的是：

A.若

OPOAtAB，则P、A、B共线

B.若3OPOAAB，则P是AB的中点

C.若OPOAtAB，则P、A、B不共线

D.若OPOAAB

，则P、A、B共线

让学生回答问题，并进行简单讲解。

本环节的知识由教师通过详细的讲授来完成，并再次提醒学生：空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，是平面向量相关知识的推广．

A C D B O 设计意图：由问题引发思考，将平面共线向量的概念及定理扩展到空间，借助图形进行分析，层层抽丝又剥茧，引导学生进行知识建构，得出最为直观简洁的结论，并立即进行简单应用加以巩固。思路清晰流畅，易于接受且便于学生记忆及应用。

4.

知识升华—共面定理

定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．

组织学生分组讨论：空间中任意三个向量一定是共面向量吗？并举例说明．

结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．例如：对于空间四边形ABCD，AB、AC、AD这三个向量就不是共面向量．

继续讨论：空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢？

引导学生借助平面向量基本定理得出空间共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得

p= xa+yb

．

有教师简述证明：

必要性：已知两个向量a、b不共线．

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∵

向量p与向量a、b共面

∴

由平面向量基本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得

p= xa+yb．

充分性：如图，

∵

xa，yb分别与a、b共线，

∴

xa，yb都在a、b确定的平面内．

又∵

xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a、b确定的平面内，

∴

p= xa+yb在a、b确定的平面内，即向量p与向量a、b共面．

共面向量定理的推论是：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得MPxMAyMB，①

或对于空间任意一定点O，有

OPOMxMAy．②M

由OPOMxMAyMB得：OPOMx(OAOM)y(OBOM)，

即∴OP(1xy)OMxOAyOB

③

公式①②③都是P、M、A、B四点共面的充要条件．

分析：定理及推论中的x、y是唯一的一对有序实数；

应用（由学生完成）：

设计意图：以对空间任意三个向量的位置关系的思考作为切入点，引出共面概念，并由教师引导学生进行共面向量充要关系的论证，得出结论，完成知识的迁移。由学生讨论交流，合作完成，教师指导，锻炼思维，加深印象

5.学以致用

自主完成—课上练习

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练习2.O是空间任意一点，C、D是线段AB的三等分点，分别用OA、OB表示OC、OD. 设计意图：模仿是学习的基础，同类型的题重复出现可强化解题思路。

6.回顾课堂

知识小结——共线向量共面向量对比

设计意图：给出表格，由学生完成填写，借此检验本节课的知识生成效果。

7.

课后

巩固练习——作业

课本练习题第二题及教辅配套“基础题练习”

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设计意图：适量的作业，可加深学生对知识的进一步理解促进知识的灵活运用，巩固所学内容。

8.

板书设计

9.

§3.1.2 空间向量的数乘运算

1数乘

…

2数乘运算律

…

9.

教学反思

3共线定理

...

4共面定理

...

板演区

练习区

10.

…

...

（1）课本中共线向量的概念是通过表示两向量的有向线段所在的直线平行来定义的向量平行。本节课则延用了平面向量中的表述

（2）课本对共线向量定理的表述中没有强调实数t的唯一性。本人在课上对此做出了强调

（3）共面向量定理与共面向量定理均引入了空间内任意一点O，为了便于理解本人将点O进行了具体化处理（让学生将其理解为原点）从而降低难度，不知可否。

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