1.2.1 充要条件教学内容分析

选修2-1 第一章 1.2.2 充要条件

班级：

姓名：_____________ 一、选择题

1．设{an}是等比数列，则“a1

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案]

C 解析]

若a10，则q>1，此时为递增数列，若a1<0，则0

2．“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的

(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

答案]

C 解析]

本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若a＝0，则f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增，若“a<0”，则f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|其图象如图所示，在(0，＋∞)内递增；反之，若f(x)＝|(ax－1)x| 在(0，＋∞)内递增，从图中可知a≤0，故选C. 3．下列命题中的真命题有(

) ①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；

→·→<0是△ABC为钝角三角形的充要条件；

②△ABC中，ABBC③2b＝a＋c是数列a、b、c为等差数列的充要条件；

④△ABC中，tanAtanB>1是△ABC为锐角三角形的充要条件．

A．1个

C．3个

B．2个

D．4个

答案]

B 解析]

两直线平行不一定有斜率，①假．

→·→<0只能说明∠ABC为锐角，当△ABC为钝角三角形时，AB→·→的符号由ABBCBC也不能确定，因为A、B、C哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．

由tanAtanB>1，知A、B为锐角，∴sinAsinB>cosAcosB，

∴cos(A＋B)<0，即cosC>0.∴角C为锐角，

∴△ABC为锐角三角形．

π反之若△ABC为锐角三角形，则A＋B>2，

∴cos(A＋B)<0，∴cosAcosB

∵cosA>0，cosB>0，∴tanAtanB>1，故④真．

4．“α＝2kπ＋β，k∈Z”是“sinα＝sinβ”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案]

A 解析]

由三角函数诱导公式可知，α＝2kπ＋β，k∈Z时，sinα＝sinβ；反之，由sinα＝sinβ可得，α＝2kπ＋β，k∈Z或α＝(2k＋1)π－β，k∈Z，所以，“α＝2kπ＋β，k∈Z”是“sinα＝sinβ”的充分不必要条件，选A. 5．设命题甲为：0

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案]

A 解析]

解不等式|x－2|<3得－1

∵0

0

∴甲是乙的充分不必要条件，故选A. 6．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

答案]

A B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析]

∵l⊥α，m⊂α，n⊂α，∵l⊥m且l⊥n，故充分性成立；又l⊥m且l⊥n时，m、n⊂α，不一定有m与n相交，∴l⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A. 二、填空题

7．平面向量a、b都是非零向量，a·b<0是a与b夹角为钝角的__________________条件．

答案]

必要不充分

解析]

若a与b夹角为钝角，则a·b<0，反之a·b<0时，如果a与b方向相反，则a与b夹角不是钝角．

8．已知三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0，则l1、l2、l3构不成三角形的充要条件是k∈集合__________________．

答案]

{－5,5，－10} 解析]

①l1∥l3时，k＝5；②l2∥l3时，k＝－5；

③l1、l2、l3相交于同一点时，k＝－10. 9．函数f(x)的定义域为I，p：“对任意x∈I，都有f(x)≤M”．q：“M为函数f(x)的最大值”，则p是q的__________________条件．

答案]

必要不充分

解析]

只有当(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M，(2)存在x0∈I，使f(x0)＝M，同时成立时，M才是f(x)的最大值，故p⇒/

q，q⇒p，

∴p是q的必要不充分条件．

10．f(x)＝|x|·(x－b)在0,2]上是减函数的充要条件是______________________．

答案]

b≥4

xx－b

x≥0，解析]

f(x)＝

x<0.－xx－b若b≤0，则f(x)在0,2]上为增函数，∴b>0，

b∵f(x)在0,2]上为减函数，∴2≥2，∴b≥4.

三、解答题

11．方程mx2＋(2m＋3)x＋1－m＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？

m＋解析]

由题意知1－m<0m∴m>1或m<0，

2

－4m－m

，

即所求充要条件是m>1或m<0. 12．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1. 证明]

充分性：当q＝－1时，a1＝p－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，当n＝1时也成立．

an＋1pnp－于是a＝n－1pp－n＝p，即数列{an}为等比数列．

必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，

an＋1pnp－∵p≠0且p≠1，∴a＝n－1pp－n∵{an}为等比数列，

pa2an＋1∴a＝a＝p，即1n＝p，

p－p＋q＝p，

∴p－1＝p＋q，∴q＝－1. 综上所述，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件．