小结教案公开课一等奖

3.2立体几何中的向量方法的综合运用

高琳莉

一、【教学目标】：

（一）、知识与技能：

1.学会由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面的位置关系；

2．学会运用直线的方向向量、平面的法向量及向量的运算来解决关于直线、平面的夹角及距离的问题（主要是关于角的问题）；

(二)、过程与方法：

学生通过“回顾－反思－巩固－小结”的过程中体会和理解应用空间向量解决立体几何问题的逻辑关系. （三）、情感态度与价值观：

在探究活动中，培养学生独立的分析和探索精神．

二、【教学重点】：向量运算在几何证明与计算中的应用。

三、【教学难点】：向量运算在几何证明与计算中的应用。

四、【教学时间】：1课时

五、【教学方法】：启发、引导、讨论. 六、【授课类型】：新课

七、【教学用具】：投影仪。

八、【教学过程】：

（一）、导入新课

通过复习引入新课

复习立体几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题与向量运算的关系。

1.空间“距离”问题: 空间两点之间的距离；.点到直线的距离；点到平面的距离；异面直线间的距离；两平行平面间的距离。

2.空间“角”问题: 异面直线所成的角；线面角：3.二面角

3.

空间“平行”问题：线线、线面、面面

4.

空间“垂直”问题: 线线、线面、面面

课堂练习

DBD'30，1：如图，已知线段AB在平面α内，线段AC，线段BD⊥AB，线段DD'，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离．

解：由AC，可知ACAB．

由DBD'30可知，＜CA,BD＞＝120，

AB＋CA·BD) BD＋AB·∴|CD|2＝(CAABBD)2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2(CA· ＝b2a2b22b2cos120＝a2b2．

∴CDa2b2．

[来源:学,科,网Z,X,X,K]

2：如图，M、N分别是棱长为1的正方体ABCDA'B'C'D'的棱BB'、B'C'的中点．求异面直线MN与CD'所成的角．

解：∵MN＝(CC'BC)，CD'＝CC'CD，

CD'＝(CC'BC)·(CC'CD)

∴MN·CD)．

CC'＋BC·＝(|CC'|2＋CC'CD＋BC·CC'0，BC·CD0，

∵CC'CD，CC'BC，BCCD，∴CC'CD0，BC·CD'＝

∴MN·[来源:学科网]121212

111|CC'|2＝．

…求得 cos＜MN,CD'＞，∴＜MN,CD'＞＝60. 222出示例1：

如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：D1F平面ADE．

证明：不妨设已知正方体的棱长为１个单位长度，且设DA＝i，DC＝j，DD1＝k．以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系D－xyz，则

∵AD＝(-1,0,0)，D1F＝(0,,-1)，∴AD·D1F＝(-1,0,0)·(0,,-1)＝0，∴D1FAD．

又 AE＝(0,1,)，∴AE·D1F＝(0,1,)·(0,,-1)＝0，

∴D1F AE．

又

ADAEA，

∴D1F平面ADE．

1212121212

说明：⑴“不妨设”是我们在解题中常用的小技巧，通常可用于设定某些与题目要求无关的一些数据，以使问题的解决简单化．如在立体几何中求角的大小、判定直线与直线或直线与平面的位置关系时，可以约定一些基本的长度．⑵空间直角坐标些建立，可以选取任意一点和一个单位正交基底，但具体设置时仍应注意几何体中的点、线、面的特征，把它们放在恰当的位置，才能方便计算和证明．

例题分析：

PD=DC，例

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点，作EF ⊥PB交PB于点F。

（1）求证：PA∥平面EDB；

（2）求证：PB ⊥平面EFD；

（3）求二面角C－PB－D的大小。

【注】师生共同探究完成，引导学生注意书写格式

[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]Ｐ

Ｆ

Ｅ

Ｄ

Ｃ

Ａ

Ｂ

（三）反馈练习

课本P111练习第1、2、3题；

（四）课时小结

引导学生完成小结内容：[来源:学*科*网Z*X*X*K]

利用向量求空间距离；；利用向量求空间中的角；

两异面直线的距离，转化为与两异面直线都相交的线段在公垂向量上的投影长. 点到平面的距离，转化为过这点的平面的斜线在平面的法向量上的投影长. 两异面直线所成的角，转化为两异面直线的方向向量的夹角或补角；

二面角，转化为两个平面的法向量的夹角或补角。

（五）作业：

课本P111习题3.2A组第1至12题。

【板书设计】

3.2立体几何中的向量方法的综合运用

（一）、导入新课

（二）例题分析

（三）反馈练习

（四）课堂小结

（五）、课后作业