探究与发现 为什么截口曲线是椭圆课件配套优秀教案设计

§2.2.2 椭圆的简单几何性质

一、教学目标

(一)知识教学点

进一步掌握椭圆的几何性质，并了解椭圆的一些实际应用，解决一些较复杂的问题。

(二)能力训练点

通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．

(三)学科渗透点

使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．

二、教材分析

1．重点：椭圆的几何性质及运用．

(解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．) 2．难点：椭圆离心率的概念的理解．

(解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．) 3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．

(解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．) 三、活动设计

提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．

四、教学过程

(一)

复习提问

标准方程

范围

对称性

顶点坐标

焦点坐标

半轴长

离心率

a、b、c的关系

标准方程

范围

2y2x21(ab0)

2

ab

|x|≤ a,|y|≤ b 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称

(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)

(c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. a>b

eca

a²=b²+c²

2x2

y21(ab0)2ab|x|≤ a,|y|≤ b x2

y221(ab0)2ba|x|≤ b,|y|≤ a

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对称性

顶点坐标

焦点坐标

半轴长

离心率

关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称

(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)

(c,0)、(-c,0)

长半轴长为a,短半轴长为b. a>b

cea

a²=b²+c²

同前

(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)

(0 , c)、(0, -c)

同前

同前

同前

a、b、c的关系

(二)复习练习

1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（ ）

x2y2A.1.916x2y2B.12516x2y2x2y2.C.1或1.25161625x2y2D.1

16252、下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y 轴都对称的是（ ）

A、X²=4Y B、X²+2XY+Y=0 C、X²-4Y²=XD、9X²+Y²=4

3、在下列每组椭圆中，哪一个更接近于圆？

①9x²＋y²＝36与x²/16＋y²/12＝1；

x²/16＋y²/12＝1 ②x²＋9y²＝36与x²/6＋y²/10＝1 x²/6＋y²/10＝1 (三)典型例题分析

例1；求椭圆9x²+16y²=144的长半轴、短半轴长、离心率、焦点、顶点坐标，并画出草图。

例2.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0），求椭圆的方程。

解：设 d是M到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合

P={xMFcc}

a由此得xc2y2a2xcc

a将上式两边平方，并化简，得

a2c2x2a2y2a2a2c2

x2y2设 a²-c²=b²,就可化成 221(ab0)

ab

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这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹

是长轴、短轴分别为2 a,2b 的椭圆。

（四）椭圆的第二定义

由例2可知，当点M与一个定点的距离的和它到一条定直线的距离

的比是常c数e0e1时，这个点的轨迹

就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做a椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。 x2y2对于椭圆221，相应于焦点F（c,0) aba2准线方程是x, 根据椭圆的对称性，相应于焦点F‘(-c.0) 准线方程ca2是x,所以椭圆有两条准线。

c练习

1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为 。（2）

22、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为 。1（）

213、若椭圆的

的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为 。（）

315x2y21的离心率为，则：k=_____（或4）

4、若椭圆24k895、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率e=__________3（5）

6．

点P是椭圆21上的动点，当P的坐标为时，b

P到原点O的最大距离为；当P的坐标为时，

P到原点O的最小距离为-------------；设F（1c,0),则当P的

坐标为PF1的最大值为；则当P的----------时，

PF1的最小值为。

坐标为----------时，

(±a,0) a (0, ±b) b (-a,0) a+c (a,0) a-c 例3 如图,我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道,是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km,远地点B距地面2348km.并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km,求卫星运行的轨道方程（精确到1km).

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x2a2y2

解：以直线AB为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，AB与地球交与C,D两点。

x2y2设所求的方程为221（a>b>0）

ab由题意知：AC=439,

BD=2384, F2CF2D6371.

则:acOAOF2F2A63714396810

acOBOF2F2B637123848755

解得a7782.5,c972.5

例4：如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程。

y A M B xacos

（为参数）ybsin

o N x

练习

2

1、一个中截面为椭圆形工艺品的短轴长为8cm，离心率e=,

2

要将这个工艺品平放在一圆形盒中邮寄，则盒子底面圆的

82cm。直径至少为

2、2005年10月17日，神州六号载人飞船带着亿万中华儿女千万年的梦想与希望，遨游太空返回地面。其运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，设其近地点距地面m(km)，远地点距地面n(km)，地球半径R(km)，则载人飞船运行轨道的短轴长为（ ）

A. mn(km) B. 2mn(km) C．(m+R)(n+R)(km) D．2(m+R)(n+R)(km)

x2y2

3、椭圆221(ab0)的左焦点F到顶点A(a,0),B(0,b)的直线的ab

b

距离为,则椭圆的离心率e=-----------------------.7

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x2y24．以椭圆

1的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆2516

方程为----------------------------.五、作业：

习题2.2.2 1.2.3

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