3.1.3 导数的几何意义ppt课件配套教案内容

课题：导数的几何意义

教学目标：

1、理解导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程。

2、理解导函数的概念，会求导函数。

3、理解在某点处与过某点的切线议程的区别。

教学过程：

1．导数的几何意义

(1)切线：如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切fxn－fx0线．显然割线PPn的斜率是kn＝x－x，当点Pn无限趋近于点P时，kn无限n0趋近于切线PT的斜率．

(2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))fx0＋Δx－fx0处的切线的斜率k，即k＝Δlim

＝f′(x0)．

x→0Δx2．导函数

从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′. 即f′(x)＝y′＝Δlim

x→0fx＋Δx－fx. Δx[小问题·大思维]

1．若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？

提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

2．函数y＝f(x)的部分图像如图，根据导数的几何意义，你能比较f′(x1)、f′(x2)和f′(x3)的大小吗？

提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且kA>kB，在C处的切线斜率小于零，所以f′(x1)>f′(x2)>f′(x3)．

3．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？

提示：不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．

4．函数在某点处的导数与导函数有什么区别及关系？

提示：区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．

关系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x＝x0时的函数值．

求曲线的切线方

[研一题]

[例1]

已知曲线C：y＝x3，求曲线C在点x＝1处的切线方程．

33Δyx＋Δx－x[自主解答]

∵Δx＝

Δx程

＝3x2＋3Δx·x＋(Δx)2，

Δy2∴y′＝Δlim

＝3x，切线斜率k＝y′|x＝1＝3，

x→0Δx又x＝1时，y＝1，

∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.

例1中求出的切线方程与曲线C是否还有其他公共点？

3y＝x，解：由得x3－3x＋2＝0，

3x－y－2＝0，

即x3－x－2x＋2＝0，(x－1)2(x＋2)＝0. 解得x＝1或x＝－2，

∴切线与曲线还有公共点(－2，－8)．

[悟一法]

利用导数的几何意义求切线方程的方法：

(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，

然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

(2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．

[通一类]

1．(2011·山东高考)曲线y＝x3＋11在点(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(

) A．－9

C．9

B．－3 D．15 1＋Δx3＋11－12Δy解析：∵切线的斜率k＝Δlim

＝Δlim

x→0Δxx→0Δx1＋3·Δx＋3·Δx2＋Δx3－1＝Δlim

x→0Δx2＝Δlim[3＋3(Δx)＋(Δx)]＝3，

x→0∴切线的方程为y－12＝3(x－1)．

令x＝0得y＝12－3＝9. 答案：C

求切点坐标

[研一题]

[例2]

已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．

(1)切线的倾斜角为45°；

(2)切线平行于直线4x－y－2＝0；

(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0. [自主解答]

设切点坐标为(x0，y0)，

2则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x0－1 ＝4x0·Δx＋2(Δx)2，

Δy∴Δx＝4x0＋2Δx，

Δy∴Δlim

＝lim

(4x0＋2Δx)＝4x0，

x→0ΔxΔx→0即f′(x0)＝4x0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，

∴斜率为tan 45°＝1，

1即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝4，

19∴切点坐标为(4，8)．

(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，

∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，

∴切点坐标为(1,3)．

(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，

1∴k·(－8)＝－1，即k＝8. 故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2. ∴切点坐标为(2,9)．

[悟一法]

解此类问题的步骤为：

(1)先设切点坐标(x0，y0)；

(2)求导函数f′(x)；

(3)求切线的斜率f′(x0)；

(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；

(5)由y0＝f(x0)，求y0得切点坐标．

[通一类]

2．已知曲线y＝2x2－a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标及a的值．

解：设切点P(x0，y0)，

Δy由y′＝Δlim

x→0Δx[2x＋Δx2－a]－2x2－a＝Δlim

x→0Δx＝Δlim

(4x＋2Δx)＝4x，

x→0得k＝y′|x＝x0＝4x0. 根据题意4x0＝8，x0＝2，

代入8x－y－15＝0得y0＝1. 故所求切点为P(2,1)，a＝2x20－y0＝7. 导数几何意义的应

用

[研一题]

[例3]

如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图像为下图中的(

)