3.1.3 导数的几何意义教学设计范文

§3.1.3导数的几何意义

教学目标：

1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；

2．理解曲线的切线的概念；

3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义．

教学过程：

一．（一）复习回顾：导数的概念 （二）平均变化率、割线的斜率

（三）瞬时速度、导数

我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数f(x0)的几何意义是什么呢？

二．新课讲授

（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当P,2,3,4)沿着曲线f(x)n(xn,f(xn))(n1趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

- 1 - 图3.1-2

我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

问题：⑴割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？

⑵切线PT的斜率k为多少？

容易知道，割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无限xnx0f(x0x)f(x0)f(x0)

x趋近于切线PT的斜率k，即klimx0说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数.

（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：

函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率，

即

f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k

x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出P点的坐标; ②求出函数在点x0处的变化率f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k

，得到曲线在点x(x0,f(x0))的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程. （二）导函数：

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0)

是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f(x)或y，

即:

f(x)ylim

x0f(xx)f(x)

x- 2 -

注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

（三）函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数

之间的区别与联系。

1）函数在一点处的导数f(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，

就是函数f(x)的导函数 3）函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值，这也是

求函数在点x0处的导数的方法之一。

三．典例分析

例1. 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图象，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况.(1)当tt0时，曲线h(t)在t0处的切线平行于x轴，故在tt0附近曲线比较平坦，几乎没有下降.(2)当tt1时，曲线h(t)在t1处的切线斜率小于0，故在tt1附近曲线下降，即函数h(t)在tt1附近单调下降.

（3）当tt2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0，所以，在tt2附近曲线下降，即函数h(x)4.9x6.5x10在tt2附近单调递减．

从图3.1-3可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在2t2附近下降的缓慢．

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例2:求曲线y=2x2-x 在点P(1,1)处的切线的斜率，并写出切线方程.f(1x)f(1)解:klimx0x2(1x)2(1x)(11)limx0x3x2(x)21lim3.x0x因此,切线方程为y-1=3(x-1), 即y=3x-2.

2动动手1:求曲线y=f(x)=x在点P(1,1)处的切线方程.

[(1x)21](121)2xx2lim2, 解：（1）y|x1limx0x0xx所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y22(x1)即2xy0

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138x上一点P(2,),求:33(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.练习:如图已知曲线y11(xx)3x31y3解：(1)yx3,ylimlim3y1x0xx03xyx3422313xx3x(x)(x)3limx03x211lim[3x23xx(x)2]x2.x033Pxy|x224.即点P处的切线的斜率等于4. 2-2-1O-1-212(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.

例3.试求过点P(3,5)且与y＝x2相切的直线方程．Δyx＋Δx2－x22xΔx＋Δx2【错解】＝＝＝2x＋Δx，ΔxΔxΔx当Δx趋近于零时的极限为2x，即f′(x)＝2x.所以切线的斜率为k＝6，切线方程为y－5＝6(x－3)，即6x－y－13＝0.【错因】求曲线上的点P处的切线与求过点P的切线有区别，在点P处的切线，点P必为切点；求过点P的切线，点P未必是切点，应注意概念不同，其求法也有所不同．

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【正解】f′(x)＝2x(解法同上)，设所求切线的切点为A(x0，y0)，因为点A在曲线y＝x2上，所以y0＝x20，又因为A是切点，所以过点A的切线的斜率为f′(x0)＝2x0，因为所求的切线过P(3,5)和A(x0，x20)两点，x2x20－50－5所以其斜率为，所以2x0＝，x0－3x0－3解得x0＝1或x0＝5，所以切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．

变式：“菊花”烟火是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．解析：烟花在t＝2s时的瞬时速度就是h′(2)．Δhh2＋Δt－h2而＝＝－4.9－4.9Δt.ΔtΔt所以h′(2)＝limΔt0→Δh＝lim(－4.9－4.9Δt)＝－4.9.Δt0→Δt即在t＝2s时，烟花正以4.9m/s的瞬时速度下降．

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【当堂检测】1．已知曲线y2x2上一点，则点A(2,8)处的切线斜率为( )2. 已知曲线标为_______ .y2x24xCA.2 B.4 C.8 D.16(3,30)在点P处的切线斜率为16，则P点坐3. 若函数f(x)在x=0处的导数等于-2,则x0limf(02x)f(0)4x-1.．

五．回顾总结

1．曲线的切线及切线的斜率；

2．导数的几何意义

六．布置作业

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