小结ppt配用优秀教学设计

函数极值与导数的教学设计

临澧一中数学组

苏颜

学情分析

《函数极值>>是高中数学人教A版选修2-1第三章第三节，在此之前我们已经学习了导数，这为我们学习这一节起着铺垫作用。

三维教学目标

（1）

知识技能目标：

掌握函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；

掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法及步骤；

了解可导函数极值点x0与f(x0)=0的逻辑关系；

培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力. 过程与方法目标：

培养学生观察

分析

探究

归纳得出数学概念和规律的学习能力。

（2）

情感与态度目标：

培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；

体会数学中的局部与整体的辨证关系. 教学重点和难点

重点：掌握求可导函数的极值的一般方法. 难点：(1)x0为函数极值点与f(x0)=0的逻辑关系

(2)函数的导数与函数最值的区别及联系。

教学过程

情景创设

学生活动

教师活动

设计理由

1利用学生们熟悉的海边学生感性引导学生想象冲浪的过程引入极值的现象。

.体育运动—冲浪，直观认识运动引形象地引入函数极值的员的运动入

定义.

过程，体会直观形象，立即抓住2

函数极函数极值学生.

的定义.

掌握函数教师给出函数极值的定义:

极值的定一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义，

义. 着重理解：如果对x0附近的所有的点，都有f(x)﹤f(x0),

1

值

的定义

“在点x0我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作附近”的含y极大值=f(x)；

0义。

体会：极大如果对x0附近的所有的点，都有f(x)﹥f(x0)，值与极小值没有必大值可能比极小值还小.

我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作然关系，极y极小值=f(x0). 强调：极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值.

再观察冲浪板在波峰寻找函数复习可导函数在定义域上的单调性与函数极值根据波谷时的状态.

极值点与的相互关系；

大纲教师引导学生寻找函数极值点与导数之间的关导数之间系.

要求的关系.

及学不难得出：生的(1)曲线在知识

极值点处

(冲浪板近似的理解为切线的斜水平,处

此

3 曲线的切线) 率为0；(2)曲线在极给出寻找和判断可导函数的极值点的方法：

再突出大值点左观直观(1) 如果在x0附近的左侧f(x)﹥0，

侧切线的察性,降斜率为正，再右侧f(x)﹤0,那么,f(x0)是极大值；

低理右侧为负；认曲线在极 (左正右负为极大) 识

论性.

小值点左(2) 如果在x0附近的左侧f(x)﹤0, 侧切线的斜率为负，右侧f(x)﹥0,那么,f(x0)是极小值. 右侧为正.

（巩固导 (右正左负为极小)

数与函数单调性之间的关系）

2

求函数f(x)= 133xx2x1的极值. 32教师讲解与板书解题过程,学生回答教师提出的相关问题。

这是4 应用1

解:∵f(x)=x2-3x+2,由f(x)=0解得x1=1,

x2=2.当x变化本节课的时,f(x)、f(x)的变化情况如下表:重点，x

f(x)

f(x)

(-∞,1）

1

（1,2）

2 0 极

小

值(2,+∞）

利用导数知识求可导函数的极值.

+

极0 大值

+

1

311当x=1时,y极大值=；当x=2时,y极小值=

631

6

求可导函数的极值的步骤：

(1)求导数f(x)；

5归纳

(2)求方程f(x)=0的根；

(3)检查f(x)在方程的根左右的值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取极大值；如果左负右正,那么f(x)在这个根处取极小值.

已知函数f(x)＝ln x－62x，求函数f(x)的极值

练

一

练

学生独立及时点评，并给出正确答案

完成,然后口答。

及时11巩固当x＝时，函数f(x)有极大值，且极大值为f重点22内容，11作到＝ln－1＝ln

22e课堂上就过手。

3

例2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值，讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值．

7 应用2 解析：f′(x)＝3ax2＋2bx－3，

3a＋2b－3＝0，所以f′(1)＝f′(－1)＝0，即3a－2b－3＝0，3题型2

2已知

函数的极值求解得a＝1，b＝0.所以f(x)＝x－3x，f′(x)＝3x－3＝

3(x＋1)(x－1)．令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，若x∈(－参数∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，－值

1)和(1，＋∞)上是增函数，若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，

也

是本

节所以f(x)在(－1,1)上是减函数，所以f(－1)＝2是极大值，课

重f(1)＝－2是极小值．

点

8归纳

对于求含参数函数的极值问题，若参数对函数的单调性(即导

数的正负)有影响则需对参数分类讨论，否则不用讨论参数．

设a∈R，若函数y学生独立答案:A 完成,然后及时巩固重点内容

9＝ex＋ax，x∈R有大于练零的极值点，则(

) 口答。

一A．a<－1

B．a>－1

练

11C．a>－ D．a<－

ee

4

例3 已知a为实数，函解析： (1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，

数f(x)＝－x3＋3x＋a. 令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1. (1)求函数f(x)的极值；

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实x (－∞，－1) －1

(－1,1)

1

(1，＋∞)

数根？

10 应用3 f′(x)

f(x)

－

↗

0

＋

↘

0

－

↗

a－2

a＋2

由表可知函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；极大值为f(1)＝a＋2. (2)结合图象(图略)，当极大值a＋2＝0，极小值小于0时，曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；

当极小值a－2＝0，有极大值大于0时，曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．

综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．

设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于学生独立完成,然后解法一 略

3解法二

对eax0＝－两边取e为底的对数，

11零的极值点，则(

) 口答。

A．a>－3 B．a<－3 a练C．a>－1 D．a<－1

33一练

13得x0＝ln－，

aa133由x0＝ln－>0及a<0，得ln－<0，故aaaa的取值范围为a<－3. 答案：B

5

让学生逐若寻找函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可? 步归纳出探索:x=0是否是函数f(x)=x3的极值点? x0为函数（展示此函数的图形）

极值点与结论：x0左右侧导数异号

x0

是函数f(x)的f(x0)=0的逻辑关系.

极值点

f(x0)=0

函数的极值点处导数为0，但导数为零的点不一定是极值点。即13探索

f(x0)0是函数在x0取极值点的必要条件。

14小结

可导函数的极值与导数的关系：

1.

函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言，在

函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大；

2.

点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点是极值点的必要不充分条件是在这点的导数为0.

函数极值点的两种情（1）

若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f(x)=0，反过来不一层层况：

递进

1定成立。

5可留（2）

函数的不可导点也可能是函数的极值点，如：yx在研给同究x=0处不可导，但x=0是函数的极小值。

学们性作为问题

研究

性问题，使

6

得知识更全面. 利用极值求函数中的参详见附件[导学案]

16作业

数

适当分层

让不同的人学习不同的学. 数

另:板书设计

1.3.2函数的极值

1．

函数的极值的定义

2．

判断可导函数极值的方法

3．应用1 （板书解题过程）

4．求可导函数的极值的步骤: 5．应用2 8．利用极值求函

(学生口答,教师板书解题过程) 6．应用3 7．可导函数的极值与导数的关系：函数数中的参数

9．作业

的极值点处导数为0，但导数为零的点不一定是极值点。即f(x0)0是函数在x0取极值点的必要条件。

7