3.4 生活中的优化问题举例优秀教学实录

潮阳区棉光中学公开课教案

主讲

老师

陈绵盛

班级

科目

高二4班

数学

公开课

时间

课

新授课

型

教学

讲授式、启发引导方法

式及多媒体辅助

课

3.4生活中的优化问题举题

例（第一课时）

2017年4月20日星期四第3节

知识与技能

会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力。

教学在利用导数解决实际问题中的优化问题的过程中，进一步巩固导数的相目标

过程与方法

关知识。通过教师引导、自主思考和合作探究，让学生体会数学建模的过程，提高学生的数学素养。

在学习应用数学知识解决问题的过程中，培养学生善于发现问题、解决积极性，进一步培养学生应用数学的意识。

情感态度、问题的自觉性，以及科学认真的生活态度，并以此激发他们学习知识的价值观

教学重点

利用导数解决生活中的一些优化问题．

教学将实际问题转化为用函数表示的数学问题，根据实际利用导数解决生活中的难点

优化问题．

教学过程：一、【创设情境】

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．

通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利

用导数，解决一些生活中的优化问题．

二、【新课讲授】

【例题1】

海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张

2如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

分析：先建立目标函数，然后利用导数求最值. 128dm,此时四周空白面积为

x1285122)1282x8,x0。

S(x)(x4)(xx512'

求导数，得S(x)22。

x

解：设版心的高为xdm，则版心的宽为

1

51212812808。

x16(x16，解得舍去）。于是宽为x2x16当x(0,16)时，S'(x)<0；当x(16,)时，S'(x)>0. 因此，x16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，

令S(x)2'宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。

【思考】在课本例1中，“x16是函数Sx的极小值点，也是最小值点。”为什么？是否还有别的解法？

【练习】在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？

【例题2】利润问题：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】

某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是

0.8r分，

其中

r

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分, 且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

分析：先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值. 解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

2r32432

yfr0.2r0.8r0.8r,0r6

332令fr0.8(r2r)0

解得

r2（r0舍去）

当r0,2时，fr0；当r2,6时，fr0．

当半径r2时，fr0它表示fr单调递增，即半径越大，利润越高；

当半径r2时，fr0

它表示fr单调递减，即半径越大，利润越低．

（1）半径为2cm

时，利润最小，这时f20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子

的成本，此时利润是负值．

（2）半径为6cm时，利润最大。

【例题3】

磁盘的最大存储量问题

计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道

和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁

道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元

通常被称为比特（bit）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。

为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．

（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？

（2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？

2

解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道不存储

Rr。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，

m2r最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量

nRr2r2r(Rr)×f(r)mmnn

（1）它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大．

（2）为求f(r)的最大值，计算f(r)0．

2f(r)R2r

mnR令f(r)0，解得r

2RR当r时，f(r)0；当r时，f(r)0．

22R因此r时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为

2任何信息，故磁道数最多可达三、【课堂小结】

用导数求解优化问题的基本步骤：

（1）认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量y与自变量x，把实际问题转化

为数学问题，列出适当的函数关系式yfx，并确定函数的定义区间；

（2）求f'x，解方程f'x0，得出所有实数根；

（3）比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值。

四【作业】习题3.4

3, 6

五、【板书设计】

3