1.1.3 四种命题间的相互关系教学设计内容推荐

命题及其关系、充分条件与必要条件

教学目标：1.理解命题的概念. 2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义. 教学重点：命题的真假判断和充分必要条件的判定

教学难点：命题的真假判断和充分必要条件的判定

教学过程：

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件

p是q的充要条件

p是q的既不充分也不必要条件

知识拓展

从集合的角度理解充分条件与必要条件

若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：

p⇒q且q⇏p

p⇏q且q⇒p

p⇔q

p⇏q且q⇏p

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；

(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；

(3)若A＝B，则p是q的充要条件；

(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；

(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；

(6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

题组一

思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“对顶角相等”是命题．(

√

) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(

×

) (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(

√

) (4)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(

√

) (5)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(

√

) 题组二

教材改编

2．[P8T3]下列命题是真命题的是(

) A．矩形的对角线相等

B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd

C．若整数a是素数，则a是奇数

D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题

答案

A 3．[P12T2(2)]“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案

充分不必要

题组三

易错自纠

4．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是(

) A．若x

C．若x>y，则x2>y2

答案

B 解析

根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．

5．“sin α>0”是“α是第一象限角”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

B．若x≤y，则x2≤y2

D．若x≥y，则x2≥y2

C．充要条件

答案

B D．既不充分也不必要条件

解析

由sin α>0，可得α是第一或第二象限角及终边在y轴正半轴上；若α是第一象限角，则sin α>0，所以“sin α>0”是“α是第一象限角”的必要不充分条件．

故选B. 1x，B＝{x|－1

不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是____________．

答案

(2，＋∞) 1x<2<8，x∈R＝{x|－1

解析

A＝x2

∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，

∴AB，∴m＋1>3，即m>2.

题型一

命题及其关系

1．下列命题是真命题的是(

) 11A．若＝，则x＝y

xyB．若x2＝1，则x＝1 C．若x＝y，则x＝y

D．若x＜y，则x2＜y2

答案

A 2．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是(

) A．不拥有的人们会幸福

C．拥有的人们不幸福

答案

D 3．(2018·青岛调研)下列命题：

①“若a2

②“全等三角形的面积相等”的逆命题；

③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；

④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．

其中正确的命题是(

) A．③④

B．①③

C．①②

D．②④

答案

A 解析

对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等B．幸福的人们不都拥有

D．不拥有的人们不幸福

的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确．故选A. 4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是____________．

答案

若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0 思维升华

(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：

①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．

(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．

(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

题型二

充分必要条件的判定

典例

(1)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

C 解析

方法一

∵数列{an}是公差为d的等差数列，

∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，

∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d. 若d＞0，则21d＞20d,10a1＋21d＞10a1＋20d，

即S4＋S6＞2S5. 若S4＋S6＞2S5，则10a1＋21d＞10a1＋20d，

即21d＞20d，

∴d＞0.∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件．

故选C. 方法二

∵S4＋S6＞2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6＞2(S4＋a5)⇔a6＞a5⇔a5＋d＞a5⇔d＞0，

∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件．

故选C. (2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

A B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析

由5x－6>x2，得2

即q：2

所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A. 思维升华

充分条件、必要条件的三种判定方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．

跟踪训练

(1)(2017·赣中南五校联考)已知α，β均为第一象限角，那么“α＞β”是“sin α＞sin β”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

D 7ππ解析

取α＝，β＝，α＞β成立，而sin α＝sin β，sin α>sin β不成立．

33∴充分性不成立；

π13π取α＝，β＝，sin α＞sin β，但α＜β，必要性不成立．

36故“α＞β”是“sin α＞sin β”的既不充分也不必要条件．

1(2)设向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，则“a∥b”是“tan θ＝成立”的_____条件．(选2填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案

必要不充分

1解析

a∥b⇔sin 2θ＝cos2θ⇔cos θ＝0或2sin θ＝cos θ⇔cos θ＝0或tan θ＝，所以“a∥b”21是“tan θ＝成立”的必要不充分条件．

2题型三

充分必要条件的应用

典例

已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

解

由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}．

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P. B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

1－m≤1＋m，则1－m≥－2，

∴0≤m≤3.1＋m≤10，

∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．

引申探究

若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

解

若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

1－m＝－2，∴方程组无解，

1＋m＝10，

即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

思维升华

充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)要注意区间端点值的检验．

x－1跟踪训练

(1)设p：|2x＋1|0)；q：>0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取2x－1值范围为__________．

答案

(0,2] 解析

由|2x＋1|0)，得－m<2x＋1

m＋1m－1∴－0，得x<或x>1. 22x－1∵p是q的充分不必要条件，又m>0，

∴m－11≤，∴0

3或4 解析

由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，

又n∈N*，则n＝1,2,3,4. 当n＝1,2时，方程没有整数根；

当n＝3时，方程有整数根1,3，

当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.

等价转化思想在充要条件中的应用

x－1典例

已知p：1－≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，綈p是綈q的必要不充分条件，3则实数m的取值范围为________．

思想方法指导

等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题．本题中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化．

解析

∵綈p是綈q的必要不充分条件，

∴q是p的必要不充分条件．

即p是q的充分不必要条件，

由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，

得1－m≤x≤1＋m(m＞0)．

∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．

设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．

x－1又由1－≤2，得－2≤x≤10，

3∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}．

设N＝{x|－2≤x≤10}．

由p是q的充分不必要条件知，NM，

m＞0，∴1－m＜－2，1＋m≥10解得m≥9. ∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．

答案

[9，＋∞)

m＞0，或1－m≤－2，1＋m＞10，