3.1.3 导数的几何意义优秀教学设计

导数的几何意义

定州中学

赵书谍

教材分析

本节课是选修1-1（人教A版）第三章的内容。作为一节概念课，它是在学生学***均变化率，瞬时变化率，及刚刚学习了用极限定义导数基础上，进一步从几何意义层面理解导数的含义与价值，是可以充分利用信息技术进行概念教学与问题探究的内容。

本节课切线的含义要在概念层次上升，不是从公共点上定义切线，而是由“割线”的“逼近”来定义曲线的切线，把曲线的切线上升到新的思维层面上。通过概念的建立、辨析，问题的探究来激发的好奇点和兴趣点。

本节课内容蕴含着导数的数形的两种体现形式，逼近的思想和用已知探究未知的思考方法。在教学过程中应重视并体现这些数学思想方法。根据本节课内容特点，教学过程中可以充分借用信息技术这一辅助手段，利用课件的动态变化趋势帮助学生进行问题探究和概念形成。

教学目标

知识与技能：理解导数的几何意义，会求曲线在某点处的切线方程；

过程与方法：经历导数几何意义的学习过程，体会用导数的几何意义分析图像上点的变化情况的方法；

情感态度与价值观：体会导数与曲线的联系，初步认识数学的科学价值，发展性思维能力。

教学重点：曲线的切线概念、切线的斜率、导数的几何意义；

教学难点：导数的几何意义

教学工具：多媒体

教学过程

问题探究: 1.平均变化率定义是什么？

几何意义是什么？

2.函数yf(x)在xx0时的瞬时变化率是什么？瞬时变化率又叫什么？几何意义又是什么呢？

1.

割线PPn的斜率Kn与切线PT的斜率K有什么关系？

提示：割线PPn的斜率是Kn无限趋近于切线PT的斜率K 直线PQ的斜率为：f(xn)f(x0)，当点Pn沿着曲线无限趋近于点P时，Knxnx0(y0y)y0y

(x0x)x0x

PQ无限靠近切线：PTlimkPQlimx0y

x0x2．本节定义的切线与以往学习的切线的定义有什么不同？

提示：这里是利用极限思想，即用割线的极限位置定义曲线的切线，这种定义曲线的方法适用于各种曲线

3．函数的切线与函数的图象只有一个交点吗？

提示：不一定，如下图所示，可知切线与函数的图象不一

定仅有一个交点．

函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线yf(x)在点P(x0,f（x0))处的切线的斜率．相应的 , yf(x)在点P(x0,f（x0))处的切线方程为：

yy0f,(x0)(xx0)

例1．已知曲线y138x上一点P(2,)

33求：（1）点P处的切线的斜率；

（2）

点P处的切线方程．

例2、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象。根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况。

hl0l1tot4t3t0t1t2l2解：我们用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线，

刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况。

(1)

当tt0时,曲线h(t)在t0处的切线L0平行于x轴，所以,在tt0附近曲线比较平坦,几乎没有升降.

(2)

当tt1时,曲线h(t)在t1处的切线L1的斜率h(t1)0. (3)

当tt2时,曲线h(t)在t2处的切线L2的斜率h(t2)0.

所以,在tt2附近曲线下降,即函数h(t)在tt2附近也单调递减. 与t2相比,曲线在t1,,

附近下降得缓慢些. 特别关注：

1．导数的几何意义是指：曲线yf(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率就是函数yf(x)在xx0处的导数，而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值．

2．由导数值判断函数在某点的变化情况：当f′(x)>0时，函数图象应是上升的，f′(x)越大，图象上升越快，越“陡峭”；当f′(x)<0时，函数图象是下降的，且k越小，下降越快．

练习1、求曲线y9在点M(3,3)处的切线的斜率及倾斜角．

x析：斜率为-1,倾斜角为135°

14例2、已知曲线y＝x3＋. 33(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．

针对练习

曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，则切线方程为(

) A．y＝9x

C．y＝9x＋26

B．y＝9x－26 D．y＝9x＋6或y＝9x－26 课堂小结

函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义,就是

曲线yf(x)在点P(x0,f（x0))处的切线的斜率．

相应的，yf(x)在点P(x0,f（x0)))处的切线方程为：yy0f,(x0)(xx0)

能力提升——走向高考

已知函数f(x)axe(aR)

(1)若曲线yf(x)在x=1处的切线与y轴垂直，求yf(x)

（2）若对任意的0x1x2,都有f(x2)(22ln2)x2f(x1)(22ln2)x1,求a的取值范围。

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