3.1.1 空间向量及其加减运算ppt专用说课稿内容

教材章节：§3.1.1

课题：空间向量及其加减运算

教学目标：

1．知识与能力：

（1）理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

（2）会用图形说明空间向量加法、减法、数乘及它们的运算律；

（3）能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

2．过程与方法：

运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，并了解空间向量的概念及空间向量的加减及运算律．

3．情态与价值：

学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．

重

点：空间向量的加减、数乘及其运算律．

难

点：空间向量的运算及其性质．

教学过程：

一、创设情景

引入新课

1．平面向量的概念及其运算法则：

在必修四第二章《平面向量》中，我们学***面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？

答：既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．

数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．

答：长度相等且方向相同的向量叫相等向量．

2．物体的受力情况分析：

图3.1-2

图3.1-1

如图3．1-1，一块均匀的正三角形钢板，在它的顶点处分别受力F1、F2、F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60，且F1F2F3200kg．这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力至少为多大时，才能提起这块钢板？

1

图3．1-1中的三个力F1、F2、F3是既有大小又有方向的量，它们是不在同一平面内的向量．因此，解决这个问题需要空间向量的知识．事实上，不同在一个平面内的向量随处可见．例如，正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA、OB、OC就是不在同一平面内的向量（图3．1-2 ）

二、新课讲授

1．空间向量的概念：

（1）在空间，我们把既有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．如：上述力F1、F2、F3；三个向量OA、OB、OC都是空间向量．

（2）向量的表示：

几何表示法：用有向线段表示；

字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示．（与空间向量一样）

（3）几个相关概念：零向量、单位向量、相反向量、相等向量．

（4）空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．

2．空间向量的加减运算：

（1）回忆平面向量有加减运算法则：

加法运算：三角形法则和平行四边形法则

减法运算：三角形法则

（2）回忆平面向量有加减运算律：

加法交换律：abba

加法结合律：(ab)ca(bc)

类比地引入空间向量的加法、减法以及运算的运算律，并进行一些简单的应用．

（3）空间向量的加减运算：

加法运算：三角形法则和平行四边形法则

减法运算：三角形法则

加法运算律：交换律、结合律

2

加法交换律：abba

加法结合律：(ab)ca(bc)

①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：A1A2A2A3A3A4An1AnA1An

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．

②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：

A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10．

③两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．

因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．

4．空间向量的数乘运算：ka,k为正数，负数，零．

数乘分配律：k(ab)ka＋kb数乘结合律：(a)()a

3．应用举例：

'例１．已知平行六面体ABCDA'B'C'D（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

（1）ABBC；

（2）ABADAA'；

（3）ABAD

1CC'；

2（4）(ABADAA')．

说明：平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．

解：

说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．

例2．如图，在长方体OADBCADB中，OA3,OB4,OC2,O，点IE，OF分别是JODB,KDB的中点，设OIi,OJj,OKk,试用向量13i,j,k表示OE和OF．

3解：OEi4j

23OFi4j2k

2三、课堂练习

3 C D/ O E A D B/ F B A/

已知空间四边形ABCD，连结AC,BD，设M,G分别是BC,CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：

（1）ABBCCD； （2）AB12(BDBC)； （3）AG12(ABAC)．

四、回顾总结

空间向量的定义与运算法则

BM4 ADGC