小结名师课堂实录

专题：导数与函数单调性

高州一中关恩

复习目标

1、掌握函数单调性与导数符号的关系

2、会用导数求解函数的单调区间（含参数和不含参数）

3、能由函数单调性求参数的范围

一、知识梳理

1、已知函数f(x)在某个区间(a，b)内可导, ①如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在(a，b)内______________; ②如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在(a，b)内_____________; ③若f'(x)=0恒成立,则f(x)在(a，b)内是____________. 2、已知函数f(x)在(a，b)上可导且f′(x)在(a，b)上不恒等于0，

f(x)在(a，b)上单调递增,则_____________在(a，b)上恒成立. f(x)在(a，b)上单调递减,则_____________在(a，b)上恒成立. 二、热身练习

1.函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下面判断正确的是(

) A.在区间(-2,1)上f(x)是增函数

B.在区间(1,3)上f(x)是减函数

C.在区间(4,5)上f(x)是增函数

D.在区间(2,3)上f(x)不是单调函数

2、函数f(x)x33x1的单调增区间为__________

解题心得：

注意单调区间若有两个或以上，它们之间不能用来连接，只能用“和”“，”连接

求单调区间的时候别忘记了要注意定义域！

利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)不含参数时,解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)直接得到单调递增(或递减)区间

f'(x)

三、核心考点

考点一、利用导数求函数的单调区间或讨论单调性（不含参数）

例1、求函数f(x)lnxx的单调区间

解题心得：

注意求单调区间的时候要在定义域的范围内！

导数法求函数单调区间的一般流程：求定义域→求导数f'(x)→求f'(x)=0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f'(x)在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性. 利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)不含参数时,解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)直接得到单调递增(或递减)区间.

考点二、利用导数求函数的单调区间或者讨论函数的单调性（含参数）

例2、讨论函数

f(x)lnxax的单调性

解题心得：

利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论。

''当参数在某个参数范围内，导函数f(x)0或者f(x)0恒成立，此时函数f(x)单调递增或者单调递减，这是最容易忽略的。

考点三、已知函数的单调性求参数的范围

例3、若函数

f(x)lnxax在(0,2]上单调递增，求a的取值范围

解题心得：

若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到

已知函数单调性求参数的一般思路是转化为不等式的恒成立问题,即“若函数f(x)单调递增,则f'(x)≥0;若函数f(x)单调递减,则f'(x)≤0”来求解. 四、巩固练习

1、求函数f(x)x3ax1的单调区间

2、讨论函数f(x)lnxaxx(a>0)的单调性

23

3、(2016全国121.改编题)若函数f(x)(x2)ex-ax在[1,)上单调递增，求a的取值范围。

14、(2016全国1.12)若函数f(x)xsin2xasinx在R上单调递增，3

则a的取值范围为（）1111A [-1,1] B[-1,] C[-,] D[-1,]3333

5、

（2017全国1.21）讨论f(x)ex(exa)a2x的单调性