1.1.1 命题教学设计第二课时

1.1

命

题

[核心必知] 1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P2～P4，回答下列问题．

观察教材P2“思考”中的6个语句．

(1)这6个语句都是陈述句吗？

提示：是．

(2)能否判断这6个语句的真假性？

提示：能．

2．归纳总结，核心必记

命题及相关概念



陈述句真命题：判断为真的语句命题分类

假命题：判断为假的语句形式：

“若p，则q”.其中p叫做命题的条件，q叫做

命题的结论定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的[问题思考] (1)“x>5”是命题吗？

提示：不是．

(2)陈述句一定是命题吗？

提示：不一定．

(3)命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”的条件和结论各是什么？

提示：条件：x＝2；结论：x2－3x＋2＝0．

(4)“若p则q”形式的命题一定是真命题吗？

提示：不一定．

(5)数学中的定义、公理、定理、推论是真命题吗？

提示：是．

[课前反思]

(1)命题的定义是：

；

(2)真、假命题的定义是：

；

(3)命题的条件和结论的定义是：

．

知识点一

命题的概念

[思考]

一个语句是命题应具备哪两个要素？

提示：(1)是陈述句；(2)可以判断真假．

讲一讲

1．判断下列语句中，哪些是命题？(链接教材P2－例1) 1(1)函数f(x)＝在定义域上是减函数；

x(2)一个整数不是质数就是合数；

(3)3x2－2x>1；

(4)在平面上作一个半径为4的圆；

(5)若sin α＝cos α，则α＝45°；

(6)2100是一个大数；

(7)垂直于同一个平面的两条直线一定平行吗？

(8)若x∈R，则x2＋2>0. [尝试解答]

(1)是陈述句，且能判断真假，是命题．

(2)是陈述句，且能判断真假，是命题．

(3)当x∈R时，3x2－2x与1的大小关系不确定，无法判断其真假，不是命题．

(4)不是陈述句，不是命题．

(5)是陈述句，且能判断真假，是命题．

(6)是陈述句，但是“大数”的标准不确定，所以无法判断其真假，不是命题．

(7)不是陈述句，不是命题．

(8)是陈述句，且能判断真假，是命题．

(1)一个语句是命题应具备两个条件：一是陈述句；二是能够判断真假．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．

(2)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假．若能，就是命题；若不能，就不是命题．

(3)还有一些语句，目前无法判断真假，但从事物的本质而论，这些语句是可辨别真假的，尤其是科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题．

(4)数学中的定义、公理、定理和推论都是命题．

练一练

1．下列语句中是命题的有________．(填序号)

①地球是太阳的一个行星．

②甲型H1N1流感是怎样传播的？

③若x，y都是无理数，则x＋y是无理数．

④若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行．

⑤60x＋9>4. ⑥求证：3是无理数．

解析：根据命题的概念进行判断．因为②是疑问句，所以②不是命题．因为⑤中自变量x的值不确定，所以无法判断其真假，故不是命题．因为⑥是祈使句，所以不是命题，故填①③④. 答案：①③④

2．判断下列语句是否是命题，并说明理由．

π(1)是有理数；

3(2)3x2≤5；

(3)梯形是不是平面图形呢？

(4)x2－x＋7>0. π解：(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

3(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．

(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．

127x－＋>0，所以“x2－x＋7>0”是真的，故是命题．

(4)因为x－x＋7＝2422知识点二 命题的构成形式

讲一讲

2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．(链接教材P3－例2、例3) (1)等边三角形的三个内角相等；

(2)当a>1时，函数y＝ax是增函数；

(3)菱形的对角线互相垂直．

[尝试解答]

(1)若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．其中条件p：一个三角形是等边三角形，结论q：它的三个内角相等．

(2)若a>1，则函数y＝ax是增函数．其中条件p：a>1，结论q：函数y＝ax是增函数．

(3)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．其中条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直．

(1)对命题改写时，一定要找准命题的条件和结论，有些命题的形式比较简洁，条件和结论不明显，写命题的条件和结论时需要适当加以补充，例如命题“对顶角相等”的条件应写成“若两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”．

(2)在对命题改写时，要注意所叙述的条件和结论的完整性，有些命题中，还要注意大前提的写法．例如，命题“在△ABC中，若a>b，则A>B”中，大前提“在△ABC中”是必不可少的．

练一练

3．将下列命题改写为“若p，则q”的形式．

(1)当a>b时，有ac2>bc2;

(2)实数的平方是非负实数；

(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；

(4)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，必有y＝4，x＝3. 解：(1)若a>b，则ac2>bc2.

(2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数．

(3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．

(4)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝4，x＝3. 知识点三 判断命题的真假

讲一讲

3．判断下列各命题的真假，并说明理由．

(1)若a2>b2，则a>b；

(2)在△ABC中，当A>60°时，必有sin A>(3)两个向量相等，它们一定是共线向量；

(4)直线y＝x与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝1相切．

[尝试解答]

(1)假命题．例如，当a＝－3，b＝1时，a2>b2，但a>b不成立．

13(2)假命题．例如，当A＝150°时，A>60°，但sin A＝，不满足sin A>.

22(3)真命题．当两个向量相等时，它们的模相等，方向相同，符合共线向量的定义，它们一定是共线向量．

(4)假命题．圆心(1，－1)到直线y＝x的距离为d＝2>1，所以直线与圆相离．

(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p，则q”的形式，然后联系其他相关的知识，经过逻辑推理或列举反例来判定．

(2)一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若p，则q”的形3；

2

式之后，判断这种命题真假的办法：若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真；判定“若p，则q”是假，只需举一反例即可．

练一练

4．下列命题中是真命题的是(

) A．若3∈A，3∈B，则A∩B＝{3} B．若x2＋x－2＝0，则x＝1 1C．若函数f(x)＝x2－x，则f(x)有最小值－

4D．若log2x<1，则x<2 答案：C 5．判断下列命题的真假，并说明理由．

(1)正方形既是矩形又是菱形；

(2)当x＝4时，2x＋1<0；

(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；

(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．

解：(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．

(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0.

(3)是真命题，由x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.

(4)是假命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列．

课堂归纳

1．本节课的重点是命题的真假判断，难点是命题的构成形式和命题的真假判断．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)将命题改写成“若p，则q”的形式，找准命题的条件和结论，见讲2.

(2)判断命题的真假性，见讲3. 3．本节课的易错点是将含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．