3.1.3 导数的几何意义优质课教案

导数几何意义的应用

——求曲线的切线方程

一、教学内容分析

求曲线的切线方程是导数的一个重要应用之一，也是高考中的热点.

二、学生情况分析

学生学习了导数几何意义及求导公式之后再来学习曲线的切线方程的求法降低了计算上的难度，但是切点未知的情况对于学生来说还是非常困难。

三、教学方法选择

在教学方法上，我采取例题讲解和理论探究两条学习主线：

1、例题讲解其目的在于使学生能够规范解答过程，强化数学表达的严谨性。

2、探究是运用已有的切线知识，探究过点的切线的求法。

四、教学目标

1、复习切线定义，导数几何意义，从导数几何意义满足的式子里提炼出求“在点”处切线的求法（类型一）。

2、通过例题变型引出类型二:“过点”的切线方程的求法。

3、情感态度价值观

（1）让学生在学习过程中会逆用已学知识。

（2）让学生学会举一反三。

五、重点、难点分析

1、教学重点：求曲线的切线方程。

Px0,y0）的曲线yf(x)的切线方程。2、教学难点：求经过点（

六、教学过程

教学环节

引

课

教师活动

学生活动

设计意图

复习切线定义，及导数几何意义

思考切线定义，及导数几何意义

从学生已学知识入手，引起其兴趣。

对于切线的另一种认识：大多数函

数曲线就一小范围来看，大致可看作老师在黑板上作曲线及在某点处的切线，让学生观察切点附近曲线与切线的关系。

介绍学习“求曲线的切线方程”的重要性

知识

直线，所以，某点附近的曲线可以用准备

此点处的切线近似代替，即微积分中一种重要思想——以直代曲。

板书：k切线fx0y'xx

0让学生观察此式子里提炼“在点”处求在点Px0,y0处的切线方程的步实际包含的两个过程，的切线方程的新课

骤：

（1）

求导fx

1

并归纳“在点”处的切线方程的求法

求法

（2）

k切线fx0y'xx0

（3）

yy0f'(x0)(xx0)

多媒体演示

引出问题一：

求曲线yf(x)在点（Px0,y0）处

的切线方程。1. 求曲线yx在点P(1,1)处的切线方程。

多媒体给出解答过程

3实

际

应

用

学以致用，相学生思考、交流并完成此题.

互交流，让学生获得成功喜悦，激发学习积极性。

通过逆用求让学生观察此题与切线斜率的式2.已知曲线yx2在点P处的切线与直线4xy30平行，求此切线方实

际

应

用

子，培养学生逆程。（若题目中的平行改为垂直又如何第一题的最大区别是向思维。为后面求解）

什么？又如何解决

求过点切线设引导学生观察此题与第一题的最学生：不知道切点，切点做铺垫。让大区别

先设切点。让学生独立学生体会到做巡视学生作业情况，待完成之后进完成（让一名学生到黑题时关键抓住行总结：逆用求切线斜率的式子求出板上板书）

题目的本质：告切点，从而求出切线方程。若对题目

诉直线即告诉加以变形：若题目中的平行改为垂直又如何求解

对问题一的第一题进行变形引出问题二

让学生观察变式与原题字面上的区别。让学生先分组然后讨论发表自己看法

学生想法不统一：有的认为点P就是切点，有点认为点P不是切点。

学生发现：应该综合刚才两种观点

2 斜率。

实

际

应

用

求经过点（Px0,y0）的曲线yf(x)的

切线方程。

变式：求经过点P(1,1)的曲线yx的切线方程。

抓住学生观点的分歧，提示大家画图分析：几何画板演示问题一中的第一题（留时间学生自己观察）

3培养学生观察能力及协作能力

老师总结：情况一：点P是切点。情况二：点P不是切点

提问：情况一怎么解决？情况二呢？

（提示情况二切点未知）

解：情况一：点P是切点（略）

A(x0,y0)

学生：情况一用问题情况二：点P不是切点，设切点一“在点”的切线方程的求法

学生：情况二切点未23x0（提问切线斜率还可y'3x2

k切线y'xx0知，先设切点

学生：用切点A与点P来求

学生：切点的双重性：既在切线上也在曲线上

以怎样表达）y01

x01（提问：两个未知数一个方程如何求解，还需构建另一个方程）

切点在曲线上

3y0x0实

际

应

用

203让学生到黑板来板书x01（如何解方程让学生自3xx01不同的解法

己思考，计算）

1x01或x0（提示用斜率建立方21x0

程，分母不为0，所以x01）23k切线3x02

43切线方程为y1(x1)

431即yx

42由情况一，二得切线方程为

31y3x2和yx

42练习：1. 求过点P(3,5)且与曲线

让学生归纳切点未知的切线的求法

学生参照例题自行完成

yx2相切的直线方程。

32.已知曲线方程为yx3x，过点A(016)，作此曲线的切线，求切线方程．

3

求曲线的切线方程关键找切点: (1)如果切点已知，则利用导数求斜率，用点斜式求切线方程。

课堂

小结

(2)如果切点未知，则需要: ①先设切点(

x0,f(x0))②建立方程k

切线=f'(x0)

跟着教师一起对本构建学生的知识结构

f(x0)y1x0x1节课完整的再回顾

(其中（x1,y1）为切线上另一点坐标)③求出切点坐标，然后根据（1）的步骤求解

课

后

作

业

见学案

知识形成性 课后完成，复习巩固

练习，拓展练习.

4