复习参考题第一课时评课稿

《利用空间向量解决立体几何开放性问题》教学设计

余杭实验中学 董辉

[考情分析] 应用空间向量这一工具解决开放性问题，比用纯立体几何方法方便灵活，也体现了向量解法题的优越性，这也是考察学生的发散思维和探究学习的能力。

[破解技巧] 用空间向量处理探究性开放题，无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断。在解题过程中，一般利用坐标待定法或比值待定法。把“是否存在”问题转化为“点坐标是否有解”，是否有规定范围的解等！

[教学目标] 1.知识目标：

能用坐标法解决线线、线面、面面的位置以及夹角所涉及的探索性问题，体现空间向量在解决立体几何开放题中的存在性问题中的优势。

2.能力目标：引导学生进行自己归纳、总结，得出“立体几何开放性问题中存在判断性问题的向量方法-----三步曲”，提高学生主动学习，分析问题，解决问题的能力，学生更加清晰解题方法：一般利用坐标待定法或比值待定法。把“是否存在”问题转化为“点坐标是否有解”，是否有规定范围的解。

3.情感目标：通过空间向量在立体几何开放性问题中应用的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求索精神；使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯。

[教学重难点] 1.教学重点：理解并掌握向量方法解决立体几何中的存在判断型开放性问题的步骤（“三步曲”）和方法（坐标法）。

2.教学难点：建立立体几何图形与空间向量之间的联系，把立体几何中的存在判断型开放性问题转化为向量问题。

[经典例题] 例1：立体几何中的线线位置的存在判断型问题

在四棱锥PABCD中，底面ABCD

是正方形，PA平面ABCD，AP=AD=1，E为CD的中点，线段PC上是否存在点H，使得AEBH.

DAECHBP

变式：在四棱锥PABCD中，底面ABCD

是正方形，PA平面ABCD，AP=AD=1，

E为线段CD上的某一点，线段PC上是否存在点H，使得AEBH.

解题反思：

线线位置的存在判断型问题的具体解题步骤为：第一步，用向量表示几何元素（点，线，面）；第二步：进行向量运算；第三步：回到图形问题.整个运算过程进行的都是坐标的运算，对应的方法可以称之为“坐标法”。

立体几何的存在判断性问题就是动态问题，点在动也就是存在变量，要确定动点的位置只需要求出变量的值。在将立体几何中“形”的问题转化成向量问题，进行运算，得到关于变量的方程，求解变量的过程，其实就是确定动点位置的过程。

立体几何中的动点有以下三种：

PA

A

PPPBCBAPABAPABACP(x,y,z)知识梳理：立体几何中的线线位置的存在判断型问题的转化

若直线l1,l2的方向向量分别为a,b

，则

l1l2

l1l2

设计意图：给出以线线位置为背景的存在判断型例子，让学生深切的感受到，问题的解决关键在引入变量假设出动点的位置，由线线位置的转化得到关于变量的方程，这其实是数学中方程的思想。同时，让学生这个过程中体验线线位置探索性问题解决的三步曲。

例2. 立体几何中的线面位置的存在判断型问题

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA平面ABCD,AP=AD=1.（2）设F为棱PD的中点，则线段PC上是否存在点H,使AF//平面BDH.

解题反思：

线面位置的判断型开放题的具体解题步骤为：化为向量问题、进行向量运算、回到图形问题

知识梳理：立体几何中的线面位置的存在判断型问题的转化

若直线l1的方向向量为a，平面的法向量为b，c,d为内两个不共线的向量,则

l

l

设计意图：给出以线面位置为背景的存在判断型性例子，引入变量假设出动点的位置，让学生体验线面位置转化的不唯一，体验线面位置探索性问题的解决关键还是三部曲。 例3.

立体几何中的夹角问题的存在判断型问题

在四棱锥PABCD中，底面ABCD 是正方形，PA平面ABCD，AP=AD=1，E为CD的中点，设H为棱PC上的点，试确定H的位置，使得二面角P-AE-H为45

解题反思：

夹角问题存在判断型问题的具体解题步骤为：化为向量问题、进行向量运算、回到图形问题；

知识梳理：

1.

立体几何中线线角的探索性问题的转化: PADEHBC若直线l1,l2的方向向量分别为a,b，线线所成角为0,abcoscosa,b

，则. 2ab2.

立体几何中线面角的探索性问题的转化: 直线的方向向量为a，平面的法向量为u

，线面所成角为0,，则

2a

uaua,u

2a,u

2sincosa,uauau

3.

立体几何中的二面角的探索性问题的转化: 平面,的法向量分别为u,v，二面角为面所成角为0,，则

u,vu,vcoscosu,vcoscosu,vuvuvuvuv

设计意图：通过对具体典型深入问题的分析，得出解决夹角问题立体几何存在判断性问题的具体操作方法，最终归纳出利用空间向量解决立体几何存在判断型问题的一般步骤-----三步曲。

高考赏析：

(2011年浙江)如图所示，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)证明：AP⊥BC；

(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A－MC－B为直二面角？

若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

[课堂小结] 如果没有运算，向量只是一个“路标”。

因为有了运算，向量的力量无限！

在用空间向量解决立体几何中的存在判断型开放题，我们常常用“坐标法”或者是“比值待定系数法”。具体通过以下三个步骤进行：

步骤1：

步骤2：

表示几何元素

进行向量运算

形

数

步骤3：

回归几何问题

形

“表示几何元素”就是把立体几何中的几何问题转化成向量问题，这其实就是数学中“转化的思想“，要确定动点的位置，就是从方程中解出变量，这应该是“方程的思想”。