探究与发现 牛顿法──用导数方法求方程的近似解优秀教案案例

探究与发现 牛顿法---用导数方法求方程的近似解（选修1-1）

【教材分析】

本节教材知识间的前后联系，以及地位与作用

本节课是教科书中的“探究与发现”属知识拓展类研究性课程，在必修１

中，学习了方程的根与函数的零点之间的关系

和利用二分法求方程的近似解的教学内容后，学生

已经知道利用数值法求解指数方程、对数方程等

超越方程和高次代数方程近似解的思想．在必修３中，学习了算法和程序框图教学内容，学生已经可以运用电脑编程进行的强大运算。在本册书（选修2-2）中，刚刚学习了导数的几何意义和求切线的方程，

为牛顿法求方程的近似解提供了理论依据和实践基

础．因此它是新旧知识的衔接点，渗透着数学知识

螺旋上升的新课程理念．通过研究使学生

理解求方程的近似解的方法，逼近的思想，体会精确与近似的相对

统一，接受数学文化的熏陶．

关键词：牛顿法；方程的近似解；教学设计；发

现探究；逼近思想

一、教材解读

本节课是人教Ａ版数学选修２－２教材中的“探

究与发现”内容，．．

这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有重要的理论价值和现实价值．

【教学目标】

根据本节课知识特点，学生自身的经验和知识基础，探究能力，学习规律，制定下面三维教学目标：

1．知识和技能目标

（1）会用牛顿法求方程的近似解，并能借助《仉何画板》软件和计算机辅助求解，感受多媒体在数值运算中的作用； （２）了解高次方程探索历程、应用及发展趋势，

体会近似代替精确、以直代曲、逼近、数形结合等思想；

（３）初步了解古今中外数学数学家在方程求解方面所取得的成就，体会人文精神，渗透数学文化，提高学生的数学素养．

2．过程和方法目标

（1）用导数方法探究方程近似解的过程，得出牛顿法

求近似解的一般规律，是本节课的教学重点．

以直代曲的思路探求牛顿法原理的过程，是本节

课的教学难点．在学习过程中，观察、归纳、表述、交流、合作，最终形成认识．

（2）培养学生的数学能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．

3．情感和价值目标

（1）认识事物之间的的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义思想．

（2）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．

【教学重点、难点】

1．教学重点

基于以上对本节教材特点和教学目标的分析，将本节课的教学重点确定为：

（1）培养学生的探索精神,积累自主学习的经验；

（2）会用牛顿法求方程的近似解．

2．教学难点

牛顿法求方程的近似解，初始值的可以利用《仉何画板》软件选取，

高次方程探索历程，近似代替精确、以直代曲、逼近、数形结合等思想；

3．教学关键

本节课突破难点的关键是：通过合作探究的方式，让学生在运动变化的过程中通过观察、比较，发现结论．

【教法选择】

关于教法与学法：

（1）回顾二分

法求方程近似解的原理，通过小组合作完成近似解的

求解．学生通过《几何画板》，得出函数图象，分析该图象的特点，联想到导数的

几何意义中以直代曲的思想，将求曲线的零点转化为

求切线与戈轴交点的横坐标让学生亲历“作切线”的过程，完善“作切线”的规

则，加深切线的交点逐步逼近零点ｒ在学生脑海中的

印象，感悟到牛顿法求方程近似解的思想，在自主探

究中逐渐拓展学生的知识．观察学习是重要的学习方法．这节课采用的第一个方法就是“观察、比较法”；

（2）为了克服学生已有知识经验和阅历不足的弱点，采用多媒体辅助教学，设计了一个动画课件，让学生在函数图象的运动变化中观察、比较，发现数学本质；

（3）根据新课标的教学理念，教学中要培养学生合作共事的团队精神，这节课还采用了“合作、讨论法”，让学生共同探讨、合作学习、取长补短、形成共识．

【学法指导】

对于求函数的最值，高三学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．

【教学过程】

本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入——合作学习，探索新知——指导应用，鼓励创新——归纳小结，反馈建构”四个环节进行组织．

教学设 计 意 教 学 内 容

环节

图

从高次1．问题情境：课题引入

中外历史上的方程求解

在人类用数学智慧架设的无数座从未知通向已知

的金桥中，方程的求解是其中璀璨的代数方程解的探索历程，一座．

我国古代数学家比较系统地解决了部分方程求解

的问题，这顺利

引入课些成果在《九章算术》、《黄帝九章算法细

草》、《数书九章》中均有记题．通过方程载．

在１６世纪，已找到了３次和４次函数的求根公

式，人们曾经求解数学史希望得到一般的５次以上代数方程的根

式解，但经过长期的努力仍无料的简要介结果．１８２４年，挪威年

轻数学家阿贝尔（Ｎ．Ｈ．Ａｂｅｌ，１绍，让学

生８０２－－１８２９）成功地证

明了５次以上一般方程没有

根式接受数学文激解．１８２８年，法国天才

数学家伽罗瓦（Ｅ．Ｇａｌｏｉｓ，

１化的熏陶，发学生学习８１

ｌ一１８３２）巧妙而简洁地

证明了存在不能用开方运算

求解的积极性和的具体方程．人们认识

到高于４次的代数方程不存

圆中固蝴…。扛

主

动性 一在求根公式，因此对于高次多项式函数及其他一些函数，有必要寻求

、其零点的近似解的方法，这是一个在

计算数学中十分重要的课题．

创通过对

设已有相关知2．引出课题：

识的回顾和32情问题：求方程x2x10x200.

在（1,2）上的近似解。

深入分析，自 （精确度为０．０１）

境然地提出问，方法一：用二分法求

题：以问题制铺造悬念，引领

着学生来到垫序区间

中点

中点函数值

精度

新知识的生号

导成场景中．为1 （1,2）

1.5 2.875 0.5 新知的发现入2 （1,1.25）

1.25 -2.42188 0.25 奠定基础后，3 （1.25,1.5）

1.375 0.130859 0.125 提出教学目标，让学生带4 （1.25，1.375）

1.3125 -1.169 0.0625 着问题走进5 （1.3125，1.375）

1.34375 -0.52481 0.03125 课堂，既明确6 （1.34375,1.3751.359375 -0.19846 0.015625 了学习目的，）

又激发起学7 （1.359375,1.371.367187-0.024712535 0.0078125 生的求知热情．

5）

5

．

二让学生在识表和识、图过程中，师生共

同操合作图象“放大”和“缩作小”，经历从割线到切线的

蜕变过程，体会逐步学逼近的思想，引出“切线”． 习

，通过做“作切线”，探直观了解牛顿法找零点的本质，让学生体会牛索顿法利用函数

切线找零点的神奇，激发学习新数学的动力．在分析理

32知解切线与x轴交点的横坐标与ｒ之间的关系过程中，

让学生形成直观感受：如果可以找到一步一步逼近点ｒ的点

x，x，，xx0，2n

1

使 xn-r很小很小，那

Oxn的值作么就可以把 x3120为ｒ的近似值x，n即把 f(x)0的近作为方程

似解．

接下来的任务是计算xn.我们知道,fx在点x0处切

线的斜率是f'x0,因此切线方程为学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、yfx0f'x0xx0.

倾听、表述，体验到成

'功的喜悦，学会学习、切线与x轴的交点

fx00,学会合作．

fx0x1x0'.

在整个新知形成过fx0程中，教师的身份始终

是启发者、鼓励者和指

导者，以提高学生抽象

'fx在点 fx1，切线方程概括、分析归纳及语言x1处的切线斜率 函数 表述等基本的数学思维为

能力． yfx1f'x1xx1.

'切线与x轴的交点

fx10,

fx1xx.

21f'x1

-------------- yfxn1f'xn1xxn1.继续上面过程------

推出公式

f'xn10,如果 ，那么，切线与x轴的交点是

fxn1xx.nn1'

问题１：方程的近似解在哪个区间？

问题２：在区间（１．３５９

３７５，１．３７５）上的图象的形

状是怎样的呢？ 问题３：函数的零点同切线与戈轴交点的横坐标

之间有什么关联？ 问题４：如何作切线？

(1)

给定初始值x0=4 (2)

求切线方程

(3)

求切线与x轴交点的横坐标

(4)

与二分法得到的近似解做比较

yfxx2x10x20rxxxx

教学环节

教 学 内 容

问题5： xn满足什么要求才可以作为零点r的近似解？

无法求处精准解，就不知道近似解差多少，因此用

xn-xn-1xn-1表示相对误差，如果给定一个精度范围内，就可

xn作为一个近似解。

以把

问题6：设计程序，电脑运行得出结果。

设 计 意 图

给定精度z0和初始值根据牛顿法公式计算当前值2x302x010x020x1x03x204x010

三、指导应

令x0x1x1x0计算当前精度:zx0Nozz0Yes用，鼓励创新x1为方程的近似解求解结束

学生编程后电脑操作运行结果

“问起于疑，疑源于思”，数学最积极的成分是问题，提出问题并解决问题是数学教学的灵魂．

对例题1用简化后的方法求解，便于学生将它与第一种解法形成对照，使得问题的解决更简单明快，更易于操作，更容易被学生所接受．

课堂练习的目的在于及时巩固重点内容，使学生在课堂上就能掌握．同时强调规范的书写和准确的运算，培养学生严谨认真的数学学习习惯．对学生完成练习情况进行评价，使所有学生都体验到成功或得到鼓励，并据此调控教学．

教学

环节

教 学 内 容

例题：求方程

115

的近似值。（精度0.01）

分析：

1.《几何画板》画图像，

2. 确定初始值

5

6xn8xn23. xn14

5xn44.计算

5.得解

问题：初始值给定不同有什么结果？

如：x

=-1.5，x=0.4设 计 意 图

理解牛顿法的本质，体会起始点选择的合理性和重要性，当方程的解不唯一时，初始值不同得到的解不同。

三、指导应用，鼓励创新

，x1.3.四、归纳小结，反

思建构运用“比较”教学，让学生了解二分

法和牛顿法求方程近似解的联系和区别，发现这两种

方法的优缺点．通过温故知新，培养学生的分析和综

合能力

课堂小结：

通过课堂小结，深化1．如何用牛顿法求方程的近似解的值

对知识理解，完善认识2．初始值不同对近似解的影响; 结构，领悟思想方法，

强化情感体验，提高认3．二分法与牛顿法的各自的特点．. 识能力．

作业布置：1.操作题：用几何画板，电脑编程求近似解

由于“逼近”涉及高等

数学的内

容，暂时不能2. 用代数的方法解释为什么迭代可以实现

“逼近”准确值，所以借助饥何画栅软件，用图象

直观解释合理性．