3.1.1 空间向量及其加减运算主要内容及教案内容

两个向量的数量积

郫都区第一中学

陈小华

１．教学目标

【知识与技能】

（1）掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握空间向量数量积的概念、性质、计算方法及运算率；

（2）初步掌握空间向量数量积的用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.

【过程与方法】

经历概念的形成过程、经历用向量方法解决某些简单的几何问题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用，体会向量是一种解决几何问题的有利工具，并鼓励学生灵活选择运用向量法解决立体几何问题，使学生亲身体验数学发现和创造的历程.

2．教学重点、难点

【重点】

空间两个向量的夹角、数量积的概念、计算方法及其应用．

【难点】

空间两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题.

为达到教学目标，突出重点、突破教学难点．阐述方法手段：

四、方法手段

1.教学方法

根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，本节课主要采取教师启发讲授，学生探究学习的教学方法.教学过程中，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，引导学生独立自主地开展思维活动，并让学生展示相应的数学思维过程，深入探究，并合作交流，创造性地解决问题，最终获得方法，培养能力.

2.教学手段

教学中使用多媒体投影和计算机来辅助教学．目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．

五、过程设计

(一)创设情境，引入课题

概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，只有学生对学习对象有了丰富具体经验以后，才能使学生对学习对象进行主动的、充分的理解，因此在本阶段的教学中，我从分析具体例子出发，而不是从抽象语言入手来引入空间向量的相关概念. 引例：

（设计意图：以学生熟悉的正方体做为教学背景，预计学生应联想到平面向量的夹角和数量积，由此类比猜想引入新课，温故知新从而有效调动学生的学习积极性．）

一．回顾旧知，类比猜想

在本环节的教学中，我主要设计了两个问题：

问题1：平面向量的夹角和平面向量的数量积的概念？

（设计意图：是从学生的已有认知出发，即从学生已具备的平面向量相关知识出发，为类比出空间向量夹角和数量积概念做铺垫，以备完成对空间向量夹角和数量积概念的第一次认识.）

问题2：能否根据自己的理解说说什么是空间向量的夹角、数量积？

教学中，我引导学生用自己的语言描述空间向量的相关概念.至此，学生对空间向量的夹角和数量积的概念就有了第一次直观、描述性的认识．

（设计意图：对于概念教学，若学生能用自己的语言来表述概念，则能更好的理解和掌握概念.）

1．平面向量的夹角及其表示：

2.平面向量数量积定义：

1 ab|a||b|cos

3．平面向量数量积运算律：(1) (a)b(ab)a(b)(2) abba(3) a(bc)abac

二．探究原因，理性认识

在此环节中，我设计了两个问题，通过对两个问题的研究、交流、讨论，使学生对空间两个向量夹角概念的认识由感性认识上升到理性认识的高度，使学生完成对概念的第二次认识．

问题1：引例中如何确定的夹角？为什么？

问题2：还有其它平移向量的方法吗？

（设计意图：对于问题1中确定两个空间向量的夹角，学生易根据空间向量相等的定义通过平移向量来解决，困难是如何选择平移向量所到的确切位置．再通过问题2的讨论，使学生感受到空间向量平移的任意性，从而将对空间向量夹角的描述性认识过渡到理性的高度.）课堂练习

三．回味建构，应用拓展

本阶段的教学，主要是通过对教材例题的讲解并延展，引导学生思考交流、分析探究、归纳反思，体会向量在立体几何中的作用.

判断真假：1）abbc,则ack2)若abk,则ab3)(ab)ca(bc)四.空间向量在立体几何中的应用

1、求夹角2、证垂直3、求距离

利用向量知识证明三垂线定理

P

O

A

a

例2.已知：PO,PA分别是平面的垂线，斜线OA是PA在内的射影，a,且aOA求证：aPA

空间向量解决几何问题的三步曲

1.建立立体图形与空间向量的联系，把立体几何问题转化为向量问题。2.考虑把未知向量用已知向量或基向量表示，

并进行向量计算。3.把向量运算的结果“翻译”成相应的几何意义。

例3：已知m,nlB，且l⊥m，l⊥n，求证：l

练习

求夹角

l

m

n



l

m

g

g

n

在正三棱柱ABC-A1B1C1中

，BB1

=2AB，则AB1

与C1B

所成角在大小为____________.

2

求距离

1.已知线段

AB

、BD

在平面

内，BDAB，线段

求C

、D

之间的距离.

思考题？

正方体中，P是中点，O是底面中心，

（1）求证：B1O面APC

（2）求异面直线

B1O与AD1

所成角的余弦值

AC，如果

ABa,BDb,ACc

，D1C1A1PDOB1CAB

五．归纳小结，提高认识

由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明．

1．课堂小结

在知识层面上，总结空间向量夹角和数量积的概念；利用空间向量性质、运算率计算和证明几何问题的方法与步骤.

在方法层面上，引导学生回顾知识探究过程中用到的思想方法和思维方法，如数形结合，等价转化，类比等，强调用“向量法”解决立体几何问题的优势，同时引导学生对学习过程作必要的反思，为后续的学习做好铺垫.

（设计意图：通过学生自主归纳、总结，对本节所学的知识系统化、条理化，可进一步巩固知识，明确方法．）

2．布置作业

板书设计

(设计意图：本课内容一览无遗，且具有启发性，突出重点.)

六、教学评价

通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价；

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