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导数在研究函数中的应用（单调性）

遂宁安居育才中学

王代成

教学目标：

1.知识与技能

(1)探索函数的导数与单调性之间的关系.

(2)利用导数与函数单调性之间的关系求函数的单调区间、证明函数的单调性. 2.过程与方法

通过本节的学习,掌握用导数研究函数单调性的方法. 3.情感、态度、价值观

教学过程中让学生多动手、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的习惯. 教学重点、难点：

探索并应用导数与函数单调性之间的关系求函数的单调区间，证明函数的单调性. 教学方法与教学手段：

启发式,多媒体教学. 教学过程：

一、提出问题

师：我们知道，导数作为函数的变化率，它刻画了函数的变化的趋势（上升或下降的陡峭程度），请大家回忆一下，在我们过去学习的知识中，还有什么也是刻画函数的变化趋势的？

生:单调性. 师：既然导数与单调性都能够刻画函数的变化趋势，那么它们之间有着怎样的联系呢？

二、数学建构

（1）提出猜想：

学生研究，汇报成果，教师引导学生得到两个结论. 1.2.f(x)单调递增

f(x)0

y f(x)0 f(x)单调递增

（2）验证猜想：

根据下面的图说明猜想2：

Q(x2,f(x

O a

P(x1,f(x1)b

引导学生通过举反例来否定猜想1. （3）确认结论：

x

师：事实上，数学的很多结论都是实际生活和自然规律的反映.比如，当汽车行驶时，其速度的导数即为瞬时加速度，刚启动时，加速度为正，所以速度越来越快；而在刹车的过程中，加速度为负，所以速度越来越慢.

三、数学应用：

例1函数

例2 确定函数

例3 用导数证明:函数f(x)x4x3的单调区间为 . 2f(x)2x6x7的单调增区间. 32f(x)sinx,x(,)为减函数. 223

四、回顾反思

问题1：我们怎么想到研究导数与单调性之间的关系的？

问题2：我们是怎样研究这个问题的？

问题3：我们得到了哪些结论？

问题4：运用上述结论，解决了哪些问题？

五、课堂巩固

1.函数f(x)xlnx的减区间为 . x2.用导数证明: (1) (2)f(x)e在区间(,)上是增函数. f(x)lnx在定义域上是减函数. 导数在函数中的应用（单调性）教学设计说明

函数的导数与单调性是选修2-2第一章第三节的内容。在学习本节课之前学生已经学习了导数、函数及函数单调性等概念，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上。本节课着重引导学生探究导数与函数单调性的关系并利用所得结论研究函数的单调性，现对本节课的教学设计作如下说明：

第一：如何引入本节课的课题？

导数作为函数的变化率刻画了函数的变化趋势，而函数的单调性也刻画了函数的变化趋势。既然这两者都刻画了函数的变化趋势，那它们之间有什么联系呢？这样就自然引入了课题。这样设计的意图是想让学生明白当两个数学对象有某种共同特征时，它们就有可能存在某种内容联系，这是我们数学研究中发现问题的思想方法。

第二：如何探究导数与单调性之间的联系呢？

第一步：让学生先思考，探究。教师引导学生从导数的几何意义、定义即形和数两个角度探究得出两个猜想。第二步：对所得的猜想进行检验或验证。第三步，让学生通过类比总结关于减函数的结论。这样设计的目的是：让学生积极主动参与一个个相关联的探究活动过程，让学生经历了知识形成的过程，激发学生学习数学的兴趣。让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中提高。另外经过了这些过程

，学生也能渐渐明白：从数学对象的定义、代数表示、几何表示等角度进行研究是数学探索的重要视角。

第三：例题的处理

灵活使用教材，不拘泥于教材。我将课本的例3改成了证明。原因是我觉得课本例3的意图是让学生明白：学了导数以后，我们以前熟悉的很多函数的单调性都可以用导数加以严格的证明了。

数学是思维的体操，是培养学生发现问题、解决问题的能力的载体。新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让学生脱离自己内心的感受，必须让学生追求过程的体验，把“数学发现的权利”还给学生。这样我们才能还给学生一个主动、互动、灵动的生命课堂！