5.5 二倍角与半角的正弦、余弦和正切教案设计（一等奖）

5.4二倍角的正弦、余弦、正切

第1课时

教学目的：

1

2能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明

教学重点：12二倍角公式的简单应用

教学难点：理解倍角公式，用单角的三角比表示二倍角的三角比

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

sin()sincoscossin,(R,R)

(S)

cos()coscossinsin,(R,R)

(C)

tan()tantan,(,,k,kZ)(T)

1tantan2二、讲解新课：

二倍角公式的推导

在公式(S)，(C)，(T)中，当时，得到相应的一组公式：

sin22sincos；(S2)

cos2cossin；(C2)

tan2222tan；(T2)

1tan2

因为sincos1，所以公式(C2)可以变形为

22)

s12sin(C2

cos22cos1或

co2)，(T2)统称为二倍角的三角比公式，公式(S2)，(C2)，(C2简称为二倍角公式．

探究：（１）二倍角公式的作用在于用单角的三角比来表达二倍角的三角比，它适用于二倍角与单角的三角比之间的互化问题．

（２）二倍角公式为仅限于2是的二倍的形式，其它如4是2232的两倍，是的两倍，3是的两倍，是的两倍等，所有22436这些都可以应用二倍角公式．因此，要理解“二倍角”的含义，即当2时，就是的二倍角．凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式．尤其是“倍角”的意义是相对的

（３）二倍角公式是从两角和的三角比公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式．

)，(T2)成立的条件是:

公式

（4）

公式(S2)，(C2)，(C2(T2)成立的条件是R,k2,k4,kZ．其他R

（5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）

（6）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：

cos21cos2,2sin21cos2

这两个形式今2后常用

三、讲解范例：

例1

不查表．求下列各式的值

（１）sin15cos15；

（２）cos28sin28；

2tan22.52

（３）；

（４）12sin75．

21tan22.5解: （１）sin15cos15=11sin30；

24＝cos（２）cos28sin2842；

22tan22.5

（３）＝tan451；

21tan22.5（４）12sin75＝cos15023．

2

例２不查表．求下列各式的值

5555cos)(sincos) （２）cos4sin4

221212121211（３）

（４）1tan1tan（１）(sin12cos2cos2

解: （１）(sin55555553cos)(sincos)sin2cos2cos

12121212121262２4（）c4s2(22so2)22i22sc)cis

22(n

（３）112tantan2

1tan1tan1tan2222（４）12coscos212cos2cos12

例３若tan  = 3，求sin2

 cos2

的值

解：sin2



cos2

= 2sincossin2cos22tantan217

2225sincos1tan5,(,)，求sin2，cos2，tan2的值

132512,(,)

∴cos1sin2

解：∵sin13213120

∴sin2 = 2sincos = 

1691191202

cos2 = 12sin

tan2 = 

169119例4 已知sin

四、练习

（公式巩固性练习）求值：

1．sin2230’cos2230’=12221cos

2．2cos

sin45824423．sin

44sin22cos2cos

8842coscoscos48482412．8sin1coscos2sincossin

242412121262五、小结

要理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、

正切公式进行简单三角比式的化简、求值与恒等式证明

二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律

六、课后作业：

1若270°＜α＜360°，则1111cos2等于 ( Ｄ ) 2222 Bcos C－sin Ｄ－cos

222222解：∵cos2α＝2cosα－1 ∴cosα＝2cos－1

2Asin∴1111111111cos2(2cos21)cos2

2222222222又∵270°＜α＜360° 135°＜∴原＜1802式

＝1111cos(2cos21)cos2cos

22222222求sin10°sin30°sin50°sin70°的值

解：∵sin10°＝cos80° ,sin50°＝cos40°, sin70°＝cos20°

∴原式＝＝1cos80°cos40°cos20°

212×cos80cos40cos20sin201sin202cos80cos40sin40sin2012

11111cos80sin80sin16012212221

2sin202sin20163求证：8cosθ＝cos4θ＋4cos2θ＋3 4证明：8cosθ＝8（cosθ）＝8(4221cos22)

＝2（cos22θ＋2cos2θ＋1＝cos4θ＋4cos2θ＋3

七、板书设计（略）

八、课后记：

22（1cos44）＋4cos2θ＋2