1.4.3 含有一个量词的命题的否定教学目标

§1.4.3含一个量词的命题的否定

东莞市第五高级中学 方莹

1．内容和内容解析

（1）内容：1、理解对含有一个量词的命题的否定的意义；

2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定；

3、判断全称命题和特称命题的否定的真假；

4、区别全称命题和特称命题的否定与否命题。（拓展提升）

（2）内容解析：这内容要求学生能理解对含有一个量词的命题的否定的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定，判断全称命题和特称命题的否定的真假（重点）；进一步提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地叙述数学内容的能力；培养对立统一的辩证思想。

2．目标和目标解析

（1）目标：1．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；

2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定；（重点）

3．能正确判断全称命题和特称命题的真假.（难点）

4．培养对立统一的辩证思想。

（2）目标解析：通过正确地对含有一个量词的命题进行否定，正确判断全称命题和特称命题的真假，培养学生综合分析问题的能力，让学生感受到数学的严谨，培养对立统一的辩证思想。

3．教学问题诊断分析

①学生在面对“对省略量词的命题怎样否定？”会容易出错，可能只是否定性质，而没有改变隐藏的量词，老师要及时归纳总结：

一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定为特称命题。

②学生在面对“判断命题的否定的真假”时可能难以判断，老师要及时归

1

纳总结：

判断命题的否定的真假时，可直接判断命题的定的真假，也可判断原命题的真假，利用原命题和

命题的否定的真假性相反而下结论。常判断特称命题，因为它只要找出一个反例即可。

③学生在面对“区别全称命题和特称命题的否定与否命题，并判断真假”时可能遇到困难，老师要及时归纳总结：

特、全称命题的否定既要改变量词，又要否定性质，它们的否命题不改变其中的量词；原命题与命题的否定真假性相反，而原命题与否命题的真假之间没有关系。

4．教学支持条件分析

(1)

恰当使用信息技术

恰当地使用多媒体，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程. （2）采取“先学后教，精讲巧练”的教学模式，学生在教师的指导下，自觉主动地参与学习，成为学习的主人，教师是学习的组织者、引导者与合作者，课堂教学取得了良好的效果。

(3)在适当的教学环节中安排了学生的讨论、分组、交流等活动，让学生变被动的接受和记忆知识为在合作学习的乐趣中主动地建构新知识的框架和体系，从而完成知识的内化过程。

(4)注意学生的个体差异。设计不同难度的题目, 将尽可能照顾到课堂学生的个体差异。

5．教学过程设计

一、学生先学（课前进行）

（一）

复习:

2

1、（设计意图：复习否命题）：

练习：原命题：若m0，则方程x2xm0有实数根. 其否命题为： 2、（设计意图：复习命题的否定）：

练习：原命题：若m0，则方程x2xm0有实数根. 其命题的否定为： 3、（设计意图：复习全称量词、全称命题、存在量词、特称命题）：

①全称量词有哪些？“ ”、

“ ”、

“ ”、

“ ”，含有全称量词的命题，叫做 .其基本形式为： ②存在量词有哪些？“ ”、

“ ”、

“ ”、

“ ”，含有存在量词的命题，叫做 .其基本形式为： 4、（设计意图，会判断含量词的命题）：

判断下列命题是不是全称命题或者特称命题,如果是, 用量词符号表示出来. (1)中国所有的江河都流入大海；

（2）0不能作为除数；

（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；

（4）每一个非零向量都有方向. （二）预习:（自主学习）

学生探究：含有一个量词的命题的否定

1. 判断下列命题是什么命题？并尝试写出下列命题的否定：

（1）所有的矩形都是平行四边形；

（老师示范）

判断：全称

命题；

否定：并非

所有的矩形都是平行四边形，

3

换言之：有的矩形不是平行四边形

。

（2）每一个素数都是奇数；

判断： 命题；

否定： 每一个素数都是奇数；

换言之： （3）xR,x22x10. 判断： 命题；

否定： xR,x22x10；

换言之： 思考：这些命题和它们的否定在形式上有什么变化? 总结：命题否定后，①全称量词换为： 量词

②否定性质

从形式看，全称命题的否定是特称命题。

全称命题的基本形式为：p：xM,px

则它的否定p为： 2. 判断下列命题是什么命题？并尝试写出下列命题的否定：

（1）有些实数的绝对值是正数；

判断： 命题；

否定： 有些实数的绝对值是正数；

换言之： （2）某些平行四边形是菱形；

判断： 命题；

否定： 某些平行四边形是菱形；

换言之： （3）x0R,x0210.

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判断： 命题；

否定： x0R,x0210；

换言之： 思考：这些命题和它们的否定在形式上有什么变化? 总结：命题否定后，①存在量词换为： 量词

②否定性质

从形式看，特称命题的否定是全称命题。

特称命题的基本形式为：P：x0M,px0

则它的否定p为： （三）牛刀小试

1.写出下列命题的否定：

（1）nZ,nQ； （2）任意素数都是奇数；

（3）每个指数函数都是奇数. 2. 写出下列命题的否定：

(1) 有些三角形是直角三角形；

（2）有些梯形是等腰梯形；

（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数.

二、老师后教,精讲巧练

（一）精讲：

1、新知：①．一般地，对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论：

全称命题p：xp,p(x)，

它的否定p：x0M,p(x0)

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②．一般地，对于一个含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论：

特称命题p：x0M,p(x0)，

它的否定p：xM,p(x). 2、总结：对全称命题和特称命题进行否定的方法：

（1）确定命题类型：是全称命题还是特称命题；

（2）改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词，把存在量词换为恰当的全称量词；

（3）否定性质：原命题中“是”、“有”、“存在”、“成立”等改为“不是”、“没有”、“不存在”、“不成立”等。

3、常见词语的否定

词语

等于

大于

小于

是

都是

不等于

不大于（即小于或等于）

不小于（即大于或等于）

不是

不都是（与“都不是”区别开）

词语的否定

至多一个

至少两个

至少一个

一个也没有

任意

所有的

4、例题

例1 、写出下列全称命题的否定：

（1）p：所有能被3整除的数都是奇数；

（2）p：每一个平行四边形的四个顶点共圆；

（3）p：对任意xZ，x2的个位数字不等于3.

6 某个

某些

小结：全称命题的否定变成特称命题. 例2 写出下列特称命题的否定：

(1) p：x0R,x022x020；

(2) p：有的三角形是等边三角形；

(3) p：有一个素数含有三个正因数. 小结：特称命题的否定变成全称命题.

巧练1：（设计意图：考查含有一个量词的命题的否定）

变式：写出下列命题的否定

(1) p：xR,x2x10

4(2) p：所有的正方形都是矩形. (3) p：xR,x22x20；

(4) p：至少有一个实数x，使x310. 想一想：对省略量词的命题怎样否定？

总结：一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定为特称命题。

巧练2：（设计意图：考查省略量词的命题的否定）

写出下列命题的否定形式：

(1)q：四条边相等的四边形是正方形．

(2)r：奇数是质数．

解：(1)  q：有的四条边相等的四边形不是正方形．

(2) r：有的奇数不是质数．

注：非p叫做命题的否定，但“非p”绝不是“是”与“不是”的简单演绎。要注意命题中是否存在量词。

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例3、写出下列命题的否定，并判断真假

（1）

任何一个平行四边形的对边都平行；

（2）

非负数的平方是正数；

（3）

有的四边形没有外接圆；

x0,yZ,使得2x0y3.

（4）

00总结：判断命题的否定的真假时，可直接判断命题的否定的真假，也可判断原命题的真假，利用原命题和命题的否定的真假性相反而下结论。常判断特称命题，因为它只要找出一个反例即可。

巧练3：（设计意图：考查含有一个量词的命题的否定，并会判断其真假）

变式1：先写出下列命题的否定，再判断真假

(1) xN,x3x2；

(2) 存在一个四边形，它的对角线垂直. 变式2：先判断下列命题的真假，再写出命题的否定：

(3) 所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；

(4)x0R,x02x010；

（5）等圆的面积相等，周长相等。（注意：否定中“或”要改为“且”

）

（拓展提升）例4、写出下列命题的否定和否命题，并判断真假

（1）nN

，若n是完全平方数，则nN；

（2）a,bR,若a=b,则a2b;2

2（3）x0R,若x01,则x01。

解：（1）命题的否定：n0N

，若n是完全平方数，则（假命题）

0N；n0否命题：nN

，若n不是完全平方数，则nN；（真命题）

（2）命题的否定：a0,b0R,若a=b0,则a0b0;（假命题）

02222 否命题：a,bR,若ab,则ab;（假命题）

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（3）命题的否定：xR,若x1,则x1；（假命题）

2否命题：x0R,若x01,则x01。（真命题）

2总结：

1.特、全称命题的否定既要改变量词，又要否定性质，它们的否命题不改变其中的量词；

2.原命题与命题的否定真假性相反，而原命题与否命题的真假之间没有关系。

巧练4:

（设计意图：考查含有一个量词的命题的否定和否命题，并会判断其真假）

变式:写出下列命题的否定和否命题，并判断真假

2(1)任意x,qR,若q＞0,则xxq0有实根; (2)

x0,y0R,若x0y00，则x00或y00.

三、高考尝试:

纵观近几年的高考试题，我们可以发现《常用逻辑用语》也是必考知识之一，尤其是充分必要条件的内容几乎年年必考一个选择题，近年来增加了

“量词”方面的考查，例如2010年就多次考查了这方面的知识，下面举例说明如下：

1.(2010·湖南高考)下列命题中假命题是( ) (A)(B)(C)(D)x∈R，2x-1＞0 x∈N*，(x2)2＞0 x∈R，lgx＜1 x∈R，tanx=2 22.(2010·辽宁高考)已知a＞0，函数f(x)=ax+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是( ) (A)(B)

x∈R，f(x)≤f(x0) x∈R，f(x)≥f(x0) 9

(C)(D)x∈R，f(x)≤f(x0) x∈R，f(x)≥f(x0) 3.(2010年安徽高考)命题P:对任何xR,x2x43　的否定是 2命题Q:存在xR,使得x2x50的否定是 4.(2010·厦门模拟）已知命题p:（A）x0∈R,sinx0≥1 （B）x∈R,sinx≥1 （C）x0∈R,sinx0>1 （D）x∈R,sinx>1 四、小结

x∈R,sinx≤1，则( ) 1、对全称命题和特称命题进行否定的方法：

（1）确定命题类型

（2）改变量词

（3）否定性质

①全称命题的否定变成特称命题. 全称命题p：xp,p(x)，

它的否定p：x0M,p(x0)

②特称命题的否定变成全称命题. 特称命题p：x0M,p(x0)，

它的否定p：xM,p(x). 2、一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定为特称命题。

3、判断命题的否定的真假时，可直接判断命题的否定的真假，也可判断原命题的真假，利用原命题和命题的否定的真假性相反而下结论。

4、①特、全称命题的否定既要改变量词，又要否定性质，它们的否命题不改变

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其中的量词；

②原命题与命题的否定真假性相反，而原命题与否命题的真假之间没有关系。

6．目标检测设计

1、已知命题p:xR，sinx≤1，则（

）

Ａ．p:xR，sinx≥1

Ｂ．p:xR，sinx≥1

Ｃ．p:xR，sinx1 Ｄ．p:xR，sinx1

（设计意图：考查全称命题的否定）

2、命题“xR，x3x210”的否定是（ ）

Ａ．不存在xR，x3x210 Ｂ．存在xR，x3x210

Ｃ．存在xR，x3x210 Ｄ．对任意的xR，x3x210

（设计意图：考查特称命题的否定）

3、写出下列命题的否定，并判断其真假。

（1）p：xR，x2x0；

（2）q：所有的正方形都是矩形；

（3）r：xR，x22x20；

（4）s：至少有一个实数x，使x310。

（设计意图：考查含有一个量词的命题的否定，并会判断其真假）

4、命题“原函数与反函数的图象关于yx对称”的否定是（ ）. A. 原函数与反函数的图象关于yx对称

B. 原函数不与反函数的图象关于yx对称

C.存在一个原函数与反函数的图象不关于yx

对称

D. 存在原函数与反函数的图象关于yx对称

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（设计意图：考查省略量词的命题的否定）

5、对下列命题的否定说法错误的是（ ）. A. p：能被3整除的数是奇数；p：存在一个能被3整除的数不是奇数

B. p：每个四边形的四个顶点共圆；p：存在一个四边形的四个顶点不共圆

C. p：有的三角形为正三角形；p：所有的三角形不都是正三角形

D. p：xR,x22x20；

p：xR,x22x20

（设计意图：考查含有一个量词（有可能隐藏）的命题的否定）

6. 写出下列命题的否定：

（1）若2x4，则x2；

（2）若m0,则x2xm0有实数根；

（3）可以被5整除的整数，末位是0；

（4）被8整除的数能被4整除；

（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等. （设计意图：考查含有一个量词（有可能隐藏）的命题的否定）

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