1.2.1 充分条件与必要条件第二课时 公开课

《充分条件与必要条件》教案

教学目标：

使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用．在师生、学生间的交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础．

教学重点：充分不必要条件、必要不充分条件的概念；

教学难点：判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件；

课 型：新授课

教学手段：多媒体

一、创设情境

当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件.

问题1：前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？

（1）若x＝y，则x＝y

（2）若ab = 0，则a = 0 （3）若x>1，则x>1 （4）若x＝1或x＝2，则x－3x＋2＝0

推断符号“”的含义

“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作pq，或者qp；如果由p推不出q，命题为假，记作p简单地说，“若p则q”为真，记作pq（或qp）；

“若p则q”为假，记作p问题1的分析：

命题(1)、 (4)为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“pq”，命题(2)、（3）为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“pq（或qp）. q. 2222q.”

说明：

“pq”表示“若p则q”为真，可以解释为：如果具备了条件p，就是以保证q成立，即表示“p蕴含q”。

二、引入新课

一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件；如果已知pq，且qp，那么就说：p是q的充分且必要条件，简记充要条件；如果已知pq，那么就说：p不是q的充分条件；q不是p的必要条件；

教师点拨：

222222命题(1)中因x＝y x＝y，所以“x＝y”是“x＝y”的充分条件，“x＝y”是“x＝y”222的必要条件；x＝yx＝y，所以“x2＝y2”不是“x＝y”的充分条件，“x＝y”不是“x＝y2”的必要条件；

命题(2)中因a = 0 ab = 0，，所以“a = 0”是“ab = 0”的充分条件.“ab = 0”是“a = 0”的必要条件. ab = 0 a = 0，所以“ab = 0”不是“a = 0”的充分条件，“a = 0”2不是“ab = 0”的必要条件；

222命题(3)中，因“x>1x>1”，所以“x>1”是x>1的充分条件，“x>1”是“x>1”的必要222条件. x>1 x>1，所以“x>1”不是“x>1”的充分条件，“x>1”不是“x>1”的必要条件. 22命题4)中，因x＝1或x＝2 x－3x＋2＝0，所以“x＝1或x＝2”是“x－3x＋2＝0”的充要分条件.

由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：

(1)充分不必要条件，即pq，而q

p. (2)必要不充分条件，即：p

q，而qp. (3)既充分又必要条件，即pq，又有qp. (4)既不充分又不必要条件，即p

q，又有q

p.

三、例题讲解：

例1

指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

（1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0. （2） p：两条直线平行；q：内错角相等. 22（3） p：a>b；q：a>b

（4）p：四边形的四条边相等；q：四边形是正四边形. 分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断. 解：⑴由pq，即x-1=0(x-1)(x+2)=0，知p是q的充分条件，q是p的必要条件. ⑵由pq，即两条直线平行内错角相等，知p是q的充要条件，q是p的充要条件；

2222⑶由pq，即a>b a>b，知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；qp，即a>ba>b，知q不是p的充分条件，p不是q的必要条件. 综述：p是q的既不充分条件又不必要条件。

⑷由q p，即四边形是正四边形四边形的四条边相等，知q是p的充分条件，p是q的必要条件. 由pq，即四边形的四条边相等四边形是正四边形，知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；

综述：p是q的必要不充分条件。

以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.

练习：

用“充分”或“必要”填空，并说明理由：

①“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的 条件；

②“x＞5”是“x＞3”的 条件；

③“x3”是“|x|3”的 条件；

④““个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的 条件；

⑤“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的 条件；

⑥对于一元二次方程ax+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b-4ac0”是“这个方程22有两个正根”的 条件；

例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：

⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件. ⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件. 解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色B为绿色”是真的，∴由定义知，“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件. ⑵如图2⑴，∵“红点在B内红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件. 解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A不为绿色”. ∵“B不为绿色

 A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件. ⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2⑵，∵“红点不在A内红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.

巩固练习：

1．已知真命题“a≥b件．

c＞d”和“a＜be≤f”，则“c≤d”是“e≤f”的________条

2．42是的什么条件?并说明理由. 42

2223．已知p∶x-8x-20＞0，q∶x-2x+1-a＞0。若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围.

4．xy，xy0是11的充分条件，还是必要条件？充要条件？

xy

问题小结：

充分条件与必要条件的判断：

（1）直接利用定义判断：即“若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.（条件与结论是相对的）

（2）利用等价命题关系判断：“pq”的等价命题是“qp”。即“若┐q┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”。