1.1.1 命题优秀教学设计说课稿

命题与充要条件

__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

１

理解四种命题及其相互关系，会判断四种命题的真假。

２

理解简单的逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容。

３

会用“全称量词与存在量词”对命题进行否定。

４

理解充分条件、必要条件、充要条件等概念。

５

能够判断给定的两个命题的充要关系，充分条件与必要条件的判断。

1．命题

能判断真假的语句叫做命题．

四种命题表述形式

原命题：若p，则ｑ

逆命题：若q，则p 否命题：若非p，则非q 逆否命题：若非q，则非p 2．全称量词与全称命题

(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词．

(2)全称命题：含有全称量词的命题．

(3)全称命题的符号表示

形如“对M中所有x，p(x)”的命题，可用符号简记为“x∈M，p(x)”．

3．存在量词与存在性命题

(1)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部1

分，逻辑中通常叫做存在量词。

(2)存在性命题：含有全称量词的命题．

(3)存在性命题的符号表示

形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为x∈M，q(x)。

4．基本逻辑联结词

常用的基本逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．

5．命题p∧q，p∨q，非p的真假判断

p 真

真

假

假

6．含有一个量词的命题的否定

命题

命题的否定

q 真

假

真

假

p∧q 真

假

假

假

p∨q 真

真

真

假

非p 假

假

真

真

x∈M，p(x) x∈M，非p(x) x∈M，非p(x) x∈M，p(x)

7．充分条件、必要条件与充要条件

(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作pq，称p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)如果既有pq，又有qp，记作pq，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．

p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价．

8．命题的四种形式及真假关系

互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．

【特别提醒】等价命题和等价转化

2

(1)逆命题与否命题互为逆否命题；

(2)互为逆否命题的两个命题同真假；

(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．

类型一

命题的四种形式及其关系

例1：已知命题“若函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(

) A．否命题“若函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题

B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题

C．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题

D．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题

【解析】

命题“若函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．

【答案】

D 练习1：给出命题“已知a、b、c、d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d”,对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言,真命题有（

）

A.0个

B.2个

C.3个

D.4个

xxxxxxx【解析】

在四种命题中原命题和逆否命题同真假,故只需判断原命题和逆命题的真假即可．原命题为真．所以逆否命题为真．逆命题为“已知a、b、c、d是实数,若a+c=b+d,则a=b,c=d”,显然错误．所以否命题也错误．故真命题个数为2．

【答案】

B 练习2：命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(

) A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

【解析】

若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，所以原命题的逆否命题是“若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数”。

【答案】

C

3

类型二

含有逻辑联结词命题真假的判断

π例2：设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x2π＝对称．则下列判断正确的是(

) 2A．p为真

B．非q为假

C．p∧q为假

D．p∨q为真

【解析】

由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题P是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题

由此结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p∧q为假命题，p∨q为是假命题

考查四个选项，C选项正确，

【答案】

C 练习１

：设命题A.nN,n2C.nN,n2p：nN,n2，则p为(

) B.nN,n22n2n

2n

2n

D.nN,n2=2n

【解析】

全称命题的否定与特称命题的否定是高考考查的重点，对特称命题的否定，将存在换成任意，后边变为其否定形式，注意全称命题与特称命题否定的书写，是常规题，很好考查了学2生对双基的掌握程度.p:nN,n2n，故选C. －x【答案】

C 练习2：已知命题p1：函数y＝2－2在R上为增函数；p2：函数y＝2＋2在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(非p1)∨p2和q4：p1∧(非p2)中，真命题是(

) A．q1，q3

B．q2，q3 C．q1，q4

D．q2，q4

xx－x【解析】

选C.p1为真命题，p2为假命题，∴非p1为假命题，非p2为真命题．故选C. 【答案】

C 例3：判断下列命题的真假．

12(1)x∈R，x－x＋1>；

2(2)α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ；

(3)x，y∈N，x－y∈N；

(4)x0，y0∈Z，2x0＋y0＝3. 123312【解析】

(1)真命题，x－x＋1＝(x－)＋≥>. 2442ππ(2)真命题，如α＝，β＝符合题意．

42(3)假命题，如x＝1，y＝5，但x－y＝－4N. 4

(4)真命题，如x0＝0，y0＝3符合题意．

【答案】

真命题，真命题，假命题，真命题。

练习3：写出下列命题的否定形式，并判断其真假．

12(1)p：x∈R，x－x＋≥0；

4(2)s：至少存在一个实数x，使x＋1＝0. 11122【解析】

(1)非p：x∈R，x－x＋＜0，是假命题，因为x∈R，x－x＋＝x－≥0恒44223成立．

(2)非s：x∈R，x＋1≠0，是假命题，因为当x＝－1时，x＋1＝0. 33123【答案】

非p：x∈R，x－x＋＜0，是假命题。非s：x∈R，x＋1≠0，是假命题。

4类型三

充要条件的判断

例4：设集合m＝{x|x>2}，p＝{x|x<3}，那么“x∈m或x∈p”是x∈p∩m的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】“x∈m或x∈p”即x∈R，而x∈p∩m即x∈(2,3)．∴x∈p∩mx∈m或x∈p，但x∈m或x∈p推不出x∈p∩m. 【答案】B 练习1：给出下列命题：

①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；

②

“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；

③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；

④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．

其中真命题的序号是________．

．【解析】

对于①，当数列{an}是等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列；但当数列{anan＋1}是等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条a直线垂直时，不一定能得出m＝3，也可能得出m＝0，因此③不正确．对于④，由题意，得＝sinAb13，当B＝60°时，有sinA＝，注意到b>a，故A＝30°；但当A＝30°时，有sinB＝，sinB22B＝60°或B＝120°，因此④正确．

5

【答案】

①④

练习2 ：设a1,a2,2q：(a12a2,anR，n3.若p：a1,a2,,an成等比数列；

an1an)2，则（

）

222an1)(a2a32an)(a1a2a2a3A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

【解析】

充分性：若命题ｐ成立，不妨设数列的公比为，则根据柯西不等式，当an时，命题ｑ成立，因此充分性成立；

必要性：当an成立。

综上，ｐ是ｑ的充分条件，但不是ｑ的必要条件。

故本题正确答案为A 【答案】

A 类型三

求参数的取值范围

例5：已知p：x－8x－20≤0，q：x－2x＋1－m≤0(m>0)．若非p是非q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

222【解析】方法1：由x－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x－2x＋1－m≤0得1－m≤x≤1＋m(m>0)．

∴非p：A＝{x|x>10或x<－2}，非q：B＝{x|x>1＋m或x<1－m}．

∵非p是非q的充分不必要条件，∴AB. 222an1q，0时，命题ｑ成立，而a1,a2an不为等比数列，即命题ｐ不成立，故必要性不m>0，∴1＋m≤10，1－m≥－2.2

解得00)，

∴p：A＝{x|－2≤x≤10}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．

∵非p是非q的充分不必要条件，∴q也是p的充分不必要条件，∴BA. m>0，∴1＋m≤10，1－m≥－2.

解得0

) A．a≤1 B．a<2 C．1

分别求命题P为真命题的a的范围，命题q为真命题的a的范围；根据p或q为真命题，p且q为假命题，得到命题p，q中有一个真命题，一个假命题，分命题p为真命题且命题q6

为假命题和命题q为真命题且命题p为假命题两类求出a的范围．本题考查根据复合命题的真假得到构成其简单命题的真假情况．解：命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数x+2x+a的判别式△=4-4a≥0，从而a≤1；命题q为真时，5-2a＞1⇒a＜2．若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题．若p为真，q为假时，无解；若p为假，q为真时，结果为1＜a＜2。

【答案】

C．

21，＋∞练习2：已知c>0，且c≠1，设p：函数y＝c在R上递减；q：函数f(x)＝x－2cx－1在2x2上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，则实数c的取值范围为________．

【解析】

若p为真，∵函数y=cx在R上单调递减，∴0＜c＜1，若q为真，∵函数（fx）=x2-2cx+1在（1/2，+∞）上为增函数f（x）对称轴为x=c，∴0＜c≤1/2

（1）p为真，q为假，∴实数c的取值范围是1/2

∴实数c的取值范围是1/2

【答案】

1/2

类型四

充要条件的应用

例6：已知集合M={x||x+1|+|x-3|>8},P={x|x+(a-8)x-8a≤0}，若M∩P={x|5＜x≤8}求a取值范围。

【解析】

解M：当x>3时x+1+x-3>8,得x>5。当-18,无解。当x≤-1时，-x-1+3-x>8,得x<-3。即M=｛x|x>5或x<-3},M∩P={x|5＜x≤8}，则

记f(x)=x+(a-8)x-8a=0两根x1

解M：当x>3时x+1+x-3>8,得x>5。当-18,无解。当x≤-1时，-x-1+3-x>8,得x<-3。即M=｛x|x>5 or x<-3},M∩P={x|5＜x≤8}，则

记f(x)=x+(a-8)x-8a=0两根x10)．若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

【解析】

设A＝{x|x－4x－5≤0}＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|－a＋35，22222

解得a>4。

7

【答案】

设A＝{x|x－4x－5≤0}＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|－a＋3

110，内存在零点，命题q:存在负数x使得

1.已知命题p:函数f(x)＝－log1x在区间323x2－a＋3<－1，B.故a＋3>5，

解得a>4。

11>,给出下列四个命题：①p或q；②p且q；③p的否定；④q的否定．其中真命题23的个数是(

) A．1 B．2 C．3 D．4 xx【解析】命题p为假命题，命题q也为假命题．利用真值表判断．

【答案】B

π2.命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是(

) 4πA．若α≠，则tanα≠1

4πC．若tanα≠1，则α≠

4【答案】

C 3.

设xR，则“x21”是“xx20”的(

) A.充分而不必要条件

C.充要条件

【答案】

A 4．下列命题中为真命题的是(

) A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

B．命题“若x>1，则x>1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x>0，则x>1”的逆否命题

【答案】

A 5．已知p(x)：x＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．

【答案】

[3,8) 6.已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若非p是非q的充分而不必要条件，求实8

2222πB．若α＝，则tanα≠1

4πD．若tanα≠1，则α＝

42B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

数m的取值范围．

【答案】

由题意得p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.

∴非p：x<1或x>5. q：m－1≤x≤m＋1，∴非q：xm＋1. 又∵非p是非q的充分而不必要条件，

m－1>1，∴m＋1≤5

m－1≥1或m＋1<5

，

解得2

_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________

基础巩固（1）

1.

设命题p：nN,n2，则p为(

) 222nA.nN,nC.nN,n2n

2n

*

B.nN,n222n

=2n

D.nN,n【答案】

C 2.

命题“nNA.nN*,f(n)N*且f(n)n的否定形式是（

B.nN*

）

,f(n)N*且f(n)n

,f(n0)N*且f(n0)n0

,f(n)N*或f(n)n

,f(n0)N*或f(n0)n0

C.n0N*D.n0N*【答案】

D. 3.判断命题“若a≥0，则x＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．

【答案】

逆否命题：若x＋x－a＝0无实根，则a<0. 判断如下：

229

12∵x＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<0，∴a<－<0，

4∴“若x＋x－a＝0无实根，则a<0”为真命题．

4.下列命题：

①若ac>bc，则a>b；

②若sinα＝sinβ，则α＝β；

③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；

④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．

其中正确命题的序号是________．

【答案】

①③④

5.设n∈N＋，一元二次方程x－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________. ．．【答案】

3或4

能力提升（2）

6.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．

【答案】

[1,2)

127.“m<”是“一元二次方程x＋x＋m＝0有实数解”的____________条件．

4【答案】

充分不必要

8.设有两个命题p、q.其中p：对于任意的x∈R，不等式ax＋2x＋1>0恒成立；命题q：f(x)＝(4a－3)在R上为减函．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a的取值范围是____________．

x222223【答案】

，1∪(1，＋∞) 4Δ≥029.求证：一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的两根都大于3是x1＋x2>6x1x2>9要条件．

Δ≥0【答案】证明：先证充分性：由于方程的两根都大于3，即x1>3，x2>3，可得x1＋x2>6x1x2>9立；再证不必要性：

10

的一个充分不必

成

Δ≥0若x1＋x2>6x1x2>9

成立，不一定推出两根都大于3.如：x1＝1，x2＝10时x1＋x2>6，x1x2>9，但x1>3不成立，从而原命题得证．

课程顾问签字： 教学主管签字：

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