1.1.1 命题教案2

§1.2

命题及其关系、充分条件与必要条件

最新考纲

1.理解命题的概念．

2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义. 考情考向分析

命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度.

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件

p是q的充要条件

p⇒q且q⇏p

p⇏q且q⇒p

p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件

知识拓展

从集合的角度理解充分条件与必要条件

p⇏q且q⇏p

若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；

(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；

(3)若A＝B，则p是q的充要条件；

(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；

(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；

(6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

题组一

思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“对顶角相等”是命题．(

√

) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(

×

) (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(

√

) (4)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(

√

) (5)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(

√

) 题组二

教材改编

2．[P8T3]下列命题是真命题的是(

) A．矩形的对角线相等

B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd

C．若整数a是素数，则a是奇数

D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题

答案

A 3．[P12T2(2)]“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案

充分不必要

题组三

易错自纠

4．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是(

) A．若x

C．若x>y，则x2>y2

答案

B 解析

根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．

5．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的(

) A．充要条件

C．必要不充分条件

答案

C 解析

x＞y⇏x＞|y|(如x＝1，y＝－2)，

但当x＞|y|时，能有x＞y. ∴“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件．

6．已知p：x>a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

答案

(－∞，2] 解析

由已知，可得{x|2＜x＜3}{x|x＞a}，

∴a≤2.B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

B．若x≤y，则x2≤y2

D．若x≥y，则x2≥y2

题型一

命题及其关系1．下列命题是真命题的是(

) 11A．若＝，则x＝y

xyC．若x＝y，则x＝y

答案

A 2．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是(

) A．不拥有的人们会幸福

C．拥有的人们不幸福

答案

D 3．原命题为“△ABC中，若cosA<0，则△ABC为钝角三角形”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(

) A．真，真，真

B．假，假，真

B．幸福的人们不都拥有

D．不拥有的人们不幸福

B．若x2＝1，则x＝1 D．若x＜y，则x2＜y2

C．真，真，假

答案

B D．真，假，假

解析

若cosA<0，A为钝角，则△ABC为钝角三角形，所以原命题为真，则逆否命题也为真；△ABC为钝角三角形，可能是B或者C为钝角，A可能为锐角，cosA>0.所以逆命题为假，则否命题也为假．故选B. 4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是______________．

答案

若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0 思维升华

(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：

①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．

(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．

(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

题型二

充分必要条件的判定

典例

(1)“0≤m≤1”是“函数f(x)＝cosx＋m－1有零点”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A 解析

方法一

若0≤m≤1，则0≤1－m≤1，

∴cosx＝1－m有解．

要使函数f(x)＝cosx＋m－1有零点，

只需|m－1|≤1，解得0≤m≤2，故选A. 方法二

函数f(x)＝cosx＋m－1有零点，

则|m－1|≤1，解得0≤m≤2，

∵{m|0≤m≤1}{m|0≤m≤2}．

∴“0≤m≤1”是“函数f(x)＝cosx＋m－1”有零点的充分不必要条件．

(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A 解析

由5x－6>x2，得2

所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A. B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．

跟踪训练

(1)(2018届莆田一中月考)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的(

) A．充要条件

C．充分不必要条件

答案

D 解析

非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．

(2)设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A 解析

若“(a－b)a2＜0”，则“a＜b”，是真命题；

而若“a＜b”，则“(a－b)a2＜0”当a＝0时不成立，是假命题．故选A.

题型三

充分必要条件的应用

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

B．既不充分也不必要条件

D．必要不充分条件

典例已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

解

由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}．

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P. 1－m≤1＋m，则1－m≥－2，

∴0≤m≤3.1＋m≤10，

∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．

引申探究

若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

解

若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

1－m＝－2，∴方程组无解，

1＋m＝10，

即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)要注意区间端点值的检验．

跟踪训练

(1)(2017·山西五校联考)已知p：(x－m)2＞3(x－m)是q：x2＋3x－4＜0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．

答案

(－∞，－7]∪[1，＋∞) 解析

p对应的集合A＝{x|x＜m或x＞m＋3}，

q对应的集合B＝{x|－4＜x＜1}，

由p是q的必要不充分条件可知，BA，

∴m≥1或m＋3≤－4，

即m≥1或m≤－7. (2)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________. 答案

3或4 解析

由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，

又n∈N*，则n＝1,2,3,4. 当n＝1,2时，方程没有整数根；

当n＝3时，方程有整数根1,3，

当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.

等价转化思想在充要条件中的应用

x－1典例已知p：1－≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，綈p是綈q的必要不充分条件，3则实数m的取值范围为________．

思想方法指导等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题．本题中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化．

解析

∵綈p是綈q的必要不充分条件，

∴q是p的必要不充分条件．

即p是q的充分不必要条件，

由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，

得1－m≤x≤1＋m(m＞0)．

∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．

设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．

x－1又由1－≤2，得－2≤x≤10，

3∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}．

设N＝{x|－2≤x≤10}．

由p是q的充分不必要条件知，NM，

m＞0，∴1－m＜－2，1＋m≥10

m＞0，或1－m≤－2，1＋m＞10，

解得m≥9. ∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．

答案

[9，＋∞)

1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(

) A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

答案

B 2．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(

) A．1B．2C．3D．4 答案

B 解析

原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．

3．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

B 4．(2018·河南八市联考)命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是(

) A．若a≤b，则a＋c≤b＋c

B．若a＋c≤b＋c，则a≤b

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

C．若a＋c＞b＋c，则a＞b

D．若a＞b，则a＋c≤b＋c

答案

A 解析

否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A. 5．(2017·广东名校模拟)王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的(

) A．充分条件

C．充要条件

答案

B 解析

“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．故选B. 16．(2017·安徽江南十校联考)“a＝0”是“函数f(x)＝sinx－＋a为奇函数”的(

) xA．充分不必要条件

C．充要条件

答案

C 1解析

显然当a＝0时，f(x)＝sin x－为奇函数．

x当f(x)为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0. 11又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－＋a＋sin x－＋a＝0，

x－x因此2a＝0，故a＝0. 所以“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件．

7．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A 解析

若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A. 8．下列结论错误的是(

) A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”

B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件

C．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题

D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

B．必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

C 解析

C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，

1即m≥－，不能推出m＞0，所以不是真命题．

49．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则原命题及命题的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．

答案

2 解析

其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．

10．设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案

充分不必要

解析

当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p⇒q，

当x＋y>2时，可令x＝－1，y＝4，即q⇏p，

故p是q的充分不必要条件．

11．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

答案

(0,3) 解析

令M＝{x|a≤x≤a＋1}，

N＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}．

∵p是q的充分不必要条件，∴MN，

a＞0，∴解得0＜a＜3. a＋1＜4，

12．有下列几个命题：

①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．

其中真命题的序号是________．

答案

②③

解析

①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误；②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．

13．(2017·邵阳二模)“m>1”是“函数f(x)＝3xm－33在区间[1，＋∞)上无零点”的(

) ＋A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

答案

A D．既不充分也不必要条件

31＋＋解析

函数f(x)＝3xm－33在区间[1，＋∞)上无零点，则31m>33，即m＋1>，解得m>，

22故“m>1”是“函数f(x)＝3xA. 14．已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

10，

答案

21≤x≤1，

解析

方法一

命题p为x2＋m－33在区间[1，＋∞)上无零点”的充分不必要条件，故选

命题q为{x|a≤x≤a＋1}．

1x>1或x<，

綈p对应的集合A＝x2

綈q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x

∵綈p是綈q的必要不充分条件，

a＋1>1，a＋1≥1，∴1或1

a≤a<，221∴0≤a≤. 21≤x≤1，

方法二

命题p：A＝x2

命题q：B＝{x|a≤x≤a＋1}．

∵綈p是綈q的必要不充分条件，

∴p是q的充分不必要条件，即AB，

a＋1≥1，a＋1>1，1∴1或1∴0≤a≤. 2a

15．若“数列an＝n2－2λn(n∈N*)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是_____________．

3答案

2，＋∞

解析

若数列an＝n2－2λn(n∈N*)为递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*

3都成立，于是可得3>2λ，即λ<. 23，＋∞. 故所求λ的取值范围是216．设a，b为正数，则“a－b>1”是“a2－b2>1”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案

充分不必要

解析

∵a－b>1，即a>b＋1.又∵a，b为正数，

∴a2>(b＋1)2＝b2＋1＋2b>b2＋1，即a2－b2>1成立；反之，当a＝3，b＝1时，满足a2－b2>1，但a－b>1不成立．所以“a－b>1”是“a2－b2>1”的充分不必要条件．