小结教案设计范例

导数的概念运算及其应用

知识链接

（一）导数的概念

1．一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是Δx→0lim

＝__________________，我们称它为函ΔxΔy＝______________________. Δx2．当x变化时，f′(x)是x的一个函数，我们称它为f(x)的________，简称______，有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝________________. 数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作________________，即f′(x0)＝Δx→0lim

3．导数的几何意义

(1)设函数y＝f(x)在x0处可导，则f′(x0)表示曲线上相应点M(x0，y0)处的____________，点M处的切线方程为______________________．

(2)设s＝s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t0时刻的____________．

(3)设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的________．

Δy. （二）导数的运算

►

探究点1

导数的概念

例1 函数f(x)在x＝x0处可导，用f′(x0)表示下列各式：

f（x0＋2Δx）－f（x0）(1)lim

；

ΔxΔx→0

f（x0＋h）－f（x0－h）(2)lim

. hh→0

1

►

探究点2 利用求导法则求导

1例2.1下列函数求导运算正确的个数为：①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③(ex)′＝ex；④(xa)′＝axlna；

x·ln2

⑤(cosx)′＝sinx.(

)A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

例2.2 求下列函数的导数：

x－x5x2lnx(1)y＝a＋x；

(2)y＝2；

(3)y＝elgx；

(4)y＝

. xsinx

例2.3 求下列各函数的导数：

π－3x－. (1)y＝ln(x2＋1)；

(2)y＝cos2(x2－x)；

(3)y＝e2xsin3

►

探究点3 导数的几何意义（在点与过点的切线问题）

（一）在点与过点的切线问题

14例3.1 已知曲线y＝x3＋.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；

33xa(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程；(4)第(1)小题中切线与曲线是否还有其他公共点？

例3.2求过点（0，0）曲线yx(x1)(x2)的切线方程

练习:1.已知点p在曲线y4ex1上，为曲线在点p处的切线的倾斜角，则的取值范围是

33[,)(,][,) (A)[0,4) (B)42 (C)24 (D) 4

2

2.已知函数f(x)在R上满足f(x)2f(2x)x28x8，则曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程是（A）y2x1

（B）yx

（C）y3x2

（D）y2x3（

3.设曲线yxn1(nN*)在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令anlgxn，则a1a2

的值为

.

a991a（fx）=x3x2bxcfx）f0）32例3.2设函数，其中a＞0，曲线y（在点P（0，（）处的切线方程为y=1（Ⅰ）确定b、c的值

fx）（Ⅱ）若过点（0,2）可作曲线y（的三条不同切线，求a的取值范围。

3例3.3已知函数f(x)xx．（1）求曲线yf(x)在点M(t，f(t))处的切线方程；

（2）设a0，如果过点(a，b)可作曲线yf(x)的三条切线，证明：abf(a)

3变式:已知函数f(x)2x3x（1）求f(x)在区间[2,1]上的最大值；

（2）若过点P(1,t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求t的取值范围；（3）过点A(1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切？（只需写出结论）

3

（二）公切线问题

15x9都相切，则a等于

425217257A．1或-

B．1或

C．或-

D．或7

446446421.若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax

2.已知函数f(x)13x2x23x的图像为曲线C, 3（1）求过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范；

（2）若在曲线C上存在两条互相垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围；

（3）证明：不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线

23.已知函数yx的图象在点x0,x02处的切线为l，若l也与函数ylnx，x(0,1)的图象相切，则x0必满足（ ）A．0x0

112 B．x0 C．x02 D．2x03

2224.已知函数f(x)ex,g(x)ax2bxc，.若f(x)的图像与g(x)的图像所在两条曲线的一个公共点在y轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求b,c

x2xa,x05.已知函数fx，若函数fx的图像在点A,B处的切线重合，则a的取值范围是lnx,x0（ ）（A）2,1 （B）1,2 （C）1, （D）ln2,

4

探究点4

利用导数研究函数的单调性

例4.1如果函数y＝f(x)的图象如图14－1，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是(

)

12例4.2已知函数f(x)=In(1+x)-x+kx (k≥0)。

2(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)的单调区间。

例4.3设函数f(x)ax2bxk(k0)在x0处取得极值，且曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线垂ex直于直线x2y10．（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）若函数g(x)，讨论g(x)的单调性．

f(x)

2f(x)(a1)lnxax1（I）讨论函数f(x)的单调性；

例4.4已知函数（II）设a1.如果对任意x1,x2(0,)，|f(x1)f(x2)4|x1x2|，求a的取值范围。

5

变式:

已知函数f(x)12xax(a1)lnx,(a1)（1）讨论函数f(x)的单调性；

2（2）证明：若a5，则对任意x1,x2(0,)，x1x2,有f(x1)f(x2)1

x1x2

►

探究点5

利用导数研究函数的极值与最值

例5.1

函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．

例5.2已知函数fxx|x2a|,aR.fx在,（1）当a0时，求证函数上是增函数；fx（2）当a=3时，求函数在区间[0，b]上的最大值。

6

►

探究点6

利用导数研究不等式的证明问题

fxex2x2a,xRa例6.1设为实数，函数。

(Ⅰ)求fxx2的单调区间与极值；(Ⅱ)求证：当aln21且x0时，ex2ax1。

例6.2设函数fxx33bx23cx在两个极值点x1、x2，且x1[1，0],x2[1,2].

（I）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点b,c的区域；

(II)证明：10fx2

1

2例6.3设函数fxx2aIn1x有两个极值点x1、x2，且x1x2

（I）求a的取值范围，并讨论fx的单调性；（II）证明：fx212In24

例6.4已知定义在正实数集上的函数f(x)12x2ax，g(x)3a2lnxb，其中a0．设两曲线2yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同．

（I）用a表示b，并求b的最大值；（II）求证：f(x)≥g(x)（x0）．

7

例6.5已知函数f(x)＝x3－ax，g(x)＝2x2－lnx－2. (1)对一切x∈(0，＋∞)，有不等式f(x)≥2x·g(x)－x2＋5x－3恒成立，求实数a的取值范；

1512(2)记G(x)＝x2－－g(x)，求证：G(x)＞x－(e是自然对数的底数)．

22eex15

bex1例6.6（2014新课标）设函数f(x)aelnx，曲线在点(1,f(1))处的切线方程为xxye(x1)2（1）求a,b；（2）证明：f(x)1

lnxxexyxyxe

x（4）x（5）掌握以下八个函数的性质：（1）yxe（2）yxlnx（3）y（6）

x2lnx（7）ylnx（8）yx

x2lnx8

►

探究点7 利用导数研究不等式的恒成立问题

例7.1设函数fxxex1ax2

（Ⅰ）若a=

x2f(x)e1xax变式1：设函数

1，求f(x)的单调区间；[来（Ⅱ）若当x0时f(x)0，求a的取值范围

2(1)若a0，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围

变式2：设函数f(x)exex．

（Ⅰ）证明：f(x)的导数f(x)≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围．

例7.2已知函数f(x)x32x2x4，g(x)ax2x8

（1）对任意x[0,)，都有f(x)g(x)，求a的取值范围

（2）对任意x1,x2[0,)，都有f(x1)g(x2)，求a的取值范围

►

探究点8 利用导数研究不等式的存在性问题

1、若函数f(x)=lnx-

12ax-2x存在单调递减区间,求实数a的范围. 29

1a11(aR)x2、已知函数 （Ⅰ）当a≤2时，讨论f(x)的单调性：

121,2，使f(x1)g(x2)，求 （Ⅱ）设g(x)=x-2bx+4.当a=4时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈f(x)lnxax实数b的取值范围。

12ax(2a1)x2lnx(aR)．

2（1）若曲线yf(x)在x1和x3处的切线互相平行，求a的值；

变式：已知函数f(x)（2）求f(x)的单调区间；

（3）设g(x)x22x，若对任意x1(0,2]，均存在x2(0,2]，使得f(x1)g(x2)，求a的取值范围．

变式：已知函数f(x)ln(121ax)x2ax.（a为常数，a0），若对任意的a(1,2),总存在21x0[,1]，使得不等式f(x0)m(1a2)成立，求实数m的取值范围．

2

3、已知函数f(x)xax(x0且x1)

lnx（1）若函数f（x)在(1,)上为减函数，求实数a的最小值

2x,x[e,e],使f(x)f‘12（2）若（x2)a成立，求实数a的取值范围

1

10

4、设函数f(x)(1x)22ln(1x)．

（1）若在定义域内存在x0，使得不等式f(x0)m0能成立，求实数m的最小值；

（2）若函数g(x)f(x)x2xa在区间[0,2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

►

探究点9 利用导数证明数列不等式

例9.1设函数f(x)x2bln(x1)，其中b0．（Ⅰ）当b1时，判断函数f(x)在定义域上的单调2性；（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln

111123都成立．

nnn11111例9.2已知nN，n2，求证：lnn1．

23n2n1

例9.3已知函数f(x)ln(x1)k(x1)1（1）求函数f(x)的单调区间（2）若f(x)0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：

ln2ln3ln4lnnn(n1)......(nN*且n1)

345n14b例9.4已知函数f(x)=ax+x+c(a＞0)的图象在点（1,f(1)）处的切线方程为y=x-1. (Ⅰ)用a表示出b,c;(Ⅱ)若f(x)＞㏑x在[1,∞]上恒成立，求a的取值范围；

n1112n1(Ⅲ)证明：1+2+3+…+n＞㏑(n+1)+(n≥1).

11

[2017·全国卷Ⅲ] 已知函数f(x)＝x－1－aln x. (1)若f(x)≥0，求a的值；

1111＋1＋2…1＋n＜m，求m的最小值．

(2)设m为整数，且对于任意正整数n，222

►

探究点10

构造函数利用研究函数性质

根据导数特征构造函数

1、关系式为“+”型：

''''''f(x)af(x)g(x)f(x)f(x)xf(x)nf(x)

xf(x)f(x)（1）（2）（3）（4）（5）

2、关系式为“-”型：

（1）f(x)a（2）f(x)g(x)（3）xf(x)f(x)（4）f(x)f(x)（5）xf(x)nf(x)

''''''1lnx(xb)2(bR)，例10.1已知函数f(x)若存在x[,2]，使得f(x)xf'(x)，则实数b的2x取值范围是（ ）A．(,2) B．(,) C. (,) D．(,3)

2、奇函数fx定义域为3294,,00，其导函数是f'x.当0x时，有f'xsinxfxcosx0，则关于x的不等式fx2fsinx的解集为（ ）

4A．

)上的函数，3、已知f(x)是定义在区间(0，其导函数为f(x)，且不等式xf(x)2f(x)恒成立，则（ ）

, B．,44,,00, C． D．,04444,

4A．4f(1)f(2)

B．

4f(1)f(2) C．

f(1)4f(2) D．

f(1)4f(2)

4、已知定义在R上的函数yf(x)满足：函数yf(x1)的图象关于直线x1对称，且当11x(,0),f(x)xf'(x)0成立(f'(x)是函数f(x)的导函数), 若a(sin)f(sin)，221b(ln2)f(ln2)，c2f(log1), 则a,b,c的大小关系是（

）

24

12

（A）abc

（B）bac

（C）cab

（D）acb

5、设函数f(x)是定义在(,0)上的可导函数，其导函数为f'(x)，且有2f(x)xf'(x)x2，

则不等式(x2016)2f(x2016)9(3)0的解集为（

）

A．(2019,2016) B．(2019,2016) C. (2019,) D．(,2019)

6、已知fx是定义在R上的偶函数，其导函数为f'x,若

f'xfx，且

fx1f3x,f20152，则不等式fx2ex1的解集为（

）

A．1, B．e, C. ,0 D．,

7、设函数f(x)在R上存在导函数f'(x)，对于任意的实数x，都有f(x)4x2f(x)，当x(,0)1e14x.若f(m1)f(m)4m2，则实数m的取值范围是（ ）

213A．[,)

B．[,)

C．[1,)

D．[2,)

22时，f'(x)

8、定义在R上的函数fx满足fxfx1，f04，则不等式exfxex3（其中

的解集为（

）A．0,B．,0e为自然对数的底数）

►

探究点11

其它类型

3,C．,00,D．3,

一、极值点偏移中点问题

13

xf(x)xc(xR)（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间和极值；

1、（2010天津）已知函数（Ⅱ）已知函数yg(x)的图象与函数yf(x)的图象关于直线x1对称，证明当x1时，xx2，且f(x1)f(x2)，证明x1x22

f(x)g(x)（Ⅲ）如果1

2、已知函数f(x)x1(xR)

x1e（1）已知函数g(x)对任意x满足g(x)f(4x)，证明：x2时，f(x)g(x)

（2）如果x1x2且f(x1)f(x2),证明：x1x24

14

3、（2016年全国I高考）已知函数（I）求a的取值范围；（II）设x1，x2是

有两个零点. 的两个零点，证明：+x2<2. 4、已知函数f(x)lnxax，a为常数，若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2，求证：

x1x21

e25、设函数，其图像与x轴交于两点，且（1）证明：f'(x1x2)0（2）证明：x1x2x1x2

二、集中变元

6、已知函数f(x)lnx12axbx(aR,bR)（1）当b1时，若函数f(x)存在单调递减区间，2'求a的取值范围；（2）若函数f(x)有两个不同的零点x1、x2，求证：f(x1x2)0

2

二、切线放缩

由切线不等式得到的放缩不等式有效的将指数函数、对数函数等超越函数放缩为低一级的幂函数类型，从而使得问题的解决得到了简化。

7、（2013新课标Ⅱ卷）已知函数f(x)eln(xm). x(Ⅰ)设x0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)当m2时,证明f(x)0.

15

x1e2ex8、设函数f(x)（常数aR)，在x0处取得极小值，g(x)

lnx2xa（1）求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；（2）对任意x(1,)，求证：f(x)g(x)

三、设零点而不求

9、（2015新课标文）设函数f(x)e2xalnx（1）讨论f(x)的导函数f'(x)的零点的个数；（2）证明：当a0时，f(x)2aaln

x10、已知函数f(x)e,g(x)lnxm（1）当m1时，求函数F(x)2

af(x)xg(x)在(0,)上x的极值；（2）若m2，求证：当x(0,)时，f(x)g(x)

1（参考数据：

10

16