3.1.1 空间向量及其加减运算优秀说课稿

空间向量及其运算教学设计

课题

3.1.1

空间向量及其加减运算

课型

新授课

教学

目标

⒈了解空间向量的基本概念；

⒉类比平面向量掌握空间中相等，相反向平行向的含义；

⒊熟练掌握空间向量的加减和数乘运算及运算律。

重点

难点

教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律

教学难点：应用向量解决立体几何问题

教具

准备

多媒体，三角板，直尺

课时

安排

1 教学过程与教学内容

教学过程：

一.复习引入

［问题一］在必修四第二章《平面向量》中，我们学***面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？

［答］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：

教学方法、教学手段与学法、学情

①用有向线段表示；

②用字母a、b等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB．

［问题二］平面向量中有哪些基本概念？哪些基本向量？

［答］向量的模，相反向量，相等向量，平行向量，单位向量，零向量. ［问题三］学习了向量的有关概念以后，向量的加法、减法、数乘运算的定义和运算法则如何规定的？

[来源:Zxxk.Com]讨论法

(1)|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a同向；

当λ＜0时，λa与a反向；

当λ＝0时，λa＝0. ［问题四］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？

［答］向量加法和数乘向量满足以下运算律

加法交换律：a＋b＝b＋a

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）

数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb

思考 数学中为什么要引入向量的概念？根据向量的实际应用单纯的平面向量够用吗？

今天在平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．

二.新课讲授

1.

空间向量的定义

空间中具有大小和方向的量叫做向量．

空间向量的表示方法：有向线段；字母a、b；用有向线段的起点与终点字母：AB。

空间中向量也是可以自由移动的。在保持向量的大小和方向的前提下可以平行移动。

2.

空间向量中的几个基本概念

向量的模，相等向量，相反向量、平行向量

3.空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？

空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：

OBOAAB=a+b，

ABOBOA（指向被减向量），

OPλa

(R)

4 .空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？

空间向量加法与数乘向量有如下运算律：

⑴加法交换律：a + b = b + a；

⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证）

⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb．

思考

平面向量内有两个重要定理共线定理和平面内向量基本定理，还记得是什么内容吗？如何应用？空间内是否仍然成立，或者又有何不同之处？

5.

共线向量

向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作

a//b。

思考

如何判定两个向量共线？

6.

共面向量：平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 注意：空间任意两个向量是共面的。空间任意三个向量可以共面也可以不共面。

思考

空间中如何证明三个向量共面？是否有共面定理？

7.空间向量共面向量定理：如果两个向量a、b共面，且不共线，则向量

p与向量a、b共面的充要条件是存在惟一实数对x,y使pxayb。

由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．

注意：空间向量加法的运算律要注意以下几点：

⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：

A1A2A2A3A3A4An1AnA1An

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．

⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：

A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10．

⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．

因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．

三典例解析

例１已知平行六面体ABCDA'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

⑴ABBC；⑵ABADAA'；1⑶ABADCC'21⑷(ABADAA')．

3

小组讨论

任意三个不共面向量a、b、c的和是什么样的向量？

探究结论

三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量。

说明：平行四边形ABCD平移向量

a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．

平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．

例2.

如图，已知平行四边形ABCD，过平

面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使

求证：

⑴四点E、F、G、H共面；

D

⑵平面EG//平面AC. C

AB

HG

EF

四、练习巩固

已知A、B、C三点不共线，对平面外一点

O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？

22

1（1）OPOAOBOC;(2)OP2OA2OBOC

555

五、课堂小结

1、基本知识

掌握空间向量的几个基本概念和加减运算以及数乘运算。

板书

理解空间向量的共线定理和共面定理。

设计

2、思想方法

类比平面向量的研究方法掌握空间向量的本质和运算技巧。

六、作业布置

教学

反思