正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系教学活动设计方案

24．3

正多边形和圆

1．了解正多边形的概念．

2．会判定一个正多边形是中心对称图形还是轴对称图形．

3．会进行有关圆与正多边形的计算．

4．会通过等分圆心角的方法等分圆周，从而画出所需的正多边形．

5．能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形．

阅读教材第105至107页，完成下列知识探究．

知识探究

1．________相等，________也相等的多边形叫做正多边形．

2．一个正多边形的外接圆的________叫做这个正多边形的中心，外接圆的________叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的________叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的________叫做正多边形的边心距．

3．把一个圆分成几等份，连接各点所得到的多边形是________，它的中心角等于________．

4．正n边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴有________条，并且还是中心对称图形；当边数为奇数时，它只是____________．

自学反馈

1．如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为________．

2．若正多边形的边心距与边长的比为1∶2，则这个正多边形的边数为________．

3．已知正六边形的外接圆半径为3 cm，那么它的周长为________cm. 4．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形的一个内角的关系是________．

5．两个正六边形的边长分别是3和4，这两个正六边形的面积之比等于________．

边数相等的正多边形是相似的．

6．圆内接正方形的半径与边长的比是________；圆内接正方形的边长为4 cm，那么边心距是________．

7．已知圆内接正方形的边长为4，则该圆的内接正六边形边长为________；圆内接正六边形的边长是8 cm，那么该正六边形的半径为________；边心距为________．

8．利用你手中的工具画一个边长为3 cm的正五边形．

要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为3的正五边形的半径．

活动1

小组讨论

︵︵︵︵︵︵例1

如图所示，⊙O中，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA. 求证：六边形ABCDEF是正六边形．

证明：略．

由本题的结论可得：只要将圆分成n等分，顺次连接各等分点，就可得到这个圆的内接正n边形．

例2

如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正△ACE的面积为483.试求正六边形的周长．

解：48.

圆的内接正6边形的边长等于圆的半径，故要求正6边形的边长，需先求圆的半径．

例3

已知⊙O的半径为2 cm，求作圆的内接正△ABC.

①用量角器度量，使∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°；②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO＝∠CAO＝30°. 例4

你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？

只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……

活动2

跟踪训练

1．正n边形的一个内角与一个外角之比是5∶1，那么n等于________．

2．若一正四边形与一正八边形的周长相等，则它们的边长之比为________．

3．正八边形有________条对称轴，它不仅是________对称图形，还是________对称图形．

正n边形的中心对称性和轴对称性．

4．有两个正多边形边数比为2∶1，内角度数比为4∶3，求它们的边数．

本题应用方程的方法来解决．

5．教材第106页练习．

6．如图，已知正△ABC，求作：正△ABC的外接圆和内切圆．(要求：保留痕迹，不写作法)

正三角形内心、外心合一，即正三角形的中心．

7．教材第108页练习．

活动3

课堂小结

1．正多边形的概念及正多边形与圆的关系．

2．正多边形的半径、中心、边心距、内角度数、中心角度数．

3．通过等分圆心角的方法等分圆周，从而画出圆内接正多边形．

4．用直尺和圆规作一些特殊的正多边形的方法．

【预习导学】

知识探究

1．各边

各角

2.圆心

半径

圆心角

距离

3.正多边形

360°

4.n

轴对称图形

边数自学反馈

1．6

2.4

3.18

4.互补

5.9∶16

6.1∶2

2 cm

7.22

8 cm

43 cm

8.略．

【合作探究】

活动2

跟踪训练

1．12

2.2∶1

3.8

轴

中心

4.10.

5.略．

6.略．

7.略．