反证法教学设计(第一课时)

人教版九年级上册24.2.2 专题复习——与圆的切线有关的计算与证明

陕西省千阳县红山中学 郑文娟

一、设计思想：

本章中，主要学习了点和圆，直线和圆，同时对圆的性质，圆的切线的判定进行了探究。在探究图形位置关系的过程中，我们对用数量关系揭示几何图形位置关系的思想方法有了较深的理解。本节课主要对与圆的切线有关的知识进行归纳，并加深对题型的分析，对知识的进一步掌握。

二、内容和内容解析

1、内容：

圆的切线

2、内容解析：

圆的切线是人教版九年级上册第24章《圆》中的内容之一，是在学完直线与圆的三种位置关系的概念的基础上进一步研究直线和圆相切的特征，是《圆》这一章的重点之一，是今后学习圆的切线长和切线长定理等知识的基础。圆的切线是连接直线型与曲线型的重要桥梁，是研究三角形内切圆、切线长定理和正多边形与圆的关系的基础．切线的判定定理与性质定理揭示了直线和圆的半径的特殊位置关系，即切线过半径外端并与这条半径垂直．两个定理互为逆命题．切线判定定理的探究过程体现了由一般到特殊的研究方法．

三、学习目标

【知识与技能】能熟练运用圆的切线的判定定理、性质定理解决相关的计算与证明问题。

【过程与方法】通过分析训练学生，灵活运用已有知识的综合能力。解

决与圆的切线相关问题时，学会从“数形结合”的角度去思考，学会添加辅助线的方法。

【情感态度】经历数学知识的综合运用过程，体验几何学习中的“说理”的无穷乐趣，感受数学思维的严谨性和数学结论的确定性。

四、教学重点难点：

【重点】掌握圆的切线的判定定理、性质定理以及运用它们解决问题。

【难点】圆的切线的判定方法和解决相关问题时怎样添加辅助线。

五、教学准备

本节为了有效实现教学目标，在知识梳理后，通过两个例题，借助多媒体引导学生进行归纳与概括出证明圆的切线时两种情况下的不同方法。通过讨论，巩固圆的切线的性质，并得出有切线时常用的辅助线添加方法。另外，信息技术的使用也为突破教学难点，启发学生思维，增加课堂容量提供了有力的支持。

六、教学环节

（一）知识梳理

圆的

切线

定义

判定

性质

设计意图：梳理本节知识点，对本节课有全局性把握，为解决相关问题作基础。

（二）范例研讨

例1.

已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB求证：直线AB是

⊙O的切线. 证明：连接OC(如图) ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.

∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线

设计意图：解决直线与圆相切的问题时，如果已知直线与圆有交点，可添加过该点的半径这条辅助线，证明直线垂直于该半径，即“有交点，连半径，证垂直”。

例2. 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC中点，⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．

证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC. ∵⊙O 与AB 相切于E ,∴OE ⊥ AB. 又∵△ABC 中AB ＝AC ,O 是BC 中点．

∴AO 平分∠BAC 又∵OE ⊥AB ，OF⊥AC. ∴OE ＝OF. ∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC. ∴AC 是⊙O 的切线．

设计意图：

解决直线与圆相切的问题时，如果不知直线与圆有交点，则过圆心添加直线的垂线这条辅助线，证明圆心到这条直线的距离等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”。

（三）巩固练习

1.下列直线中可以判定为圆的切线的是（）

A 与圆有公共点的直线

B 经过半径外端的直线

F

C 垂直圆的半径的直线

D 与圆心的距离等于半径的直线

2.

如图所示，A是ʘO上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与ʘO的位置关系是 . 设计意图：

通过习题1、2，帮助学生加深对概念的理解

3.

如图，在ʘO的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（）

A．40° B．35°

C．30° D．45°

A

O

第2题

D

P

A

O

C

B

P

第3题

4、已知 AB、AC与ʘO相切于点B、C，∠A=50°,P为ʘO上异于点B、C的一个动点，则∠BPC= 设计意图：

通过习题3、4，帮助学生初步运用切线的性质解决问题。问题4中还设置了分类讨论的思想，学生往往在做题时会因考虑不全面出现少一种答案的情况，这时教师要引导学生进行全面分析问题。

5.已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF. ⑴.如图1，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是_________ ⑵.如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，线.

求证：EF是⊙O的切

(1) (2) 解：（1）BA⊥EF （2）证明：连接AO并延长交⊙O于D,连接CD, 则AD为⊙O的直径. ∴∠D+ ∠DAC=90 °

∵∠D与∠B同对

∴∠D= ∠B, 又∵∠CAE= ∠B, ∴∠D= ∠CAE, ∴∠DAC+ ∠EAC=90°

∴EF是⊙O的切线. 设计意图：

在第一问结束后教师引导学生若添加∠CAE=∠B，能否证明EF为⊙O的切线，学生很快经过推理可证明，从而为第二问做铺垫，在这道题中从第一问到第二问实际上是在运用从特殊到一般的思想解决问题。

（四）、中考链接（2017陕西）已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时，

（1）求弦AC的长；（2）求证：BC∥PA．

P

设计意图：

回忆2017年中考题，巩固知识；熟练中考题目形式，为本节的目的奠定A

O

D

C

B

基础。

（五）、小结归纳

定义

证切线时常用辅助线添加方法：

1个公共点，则相切

d=r，则相切

①有交点，连半径，证垂直；

②无交点，作垂直，证半径. 圆的切线

判定

性质

经过半径的外端并且垂直于这

条半径的直线是圆的切线

圆的切线垂直于经过切点的半径

（六）课堂小结

1. 本节课你学到了什么知识和方法？

2. 你有什么收获和体会？

数学上的“数形结合”思想、“转化”思想、一题多解、分类、特殊到一般拓展了我们的思维，开启了我们的智慧，让我们在学习中学会思考，在思考中更好的学习…

（六）、达标测评

1、如图(1)，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝30°．

（1）求∠APB的度数；（2）当OA＝3时，求AP的长．

有切线时常用辅助线添加方法：

见切线，连切点，得垂直

（1）

（2）

2、如图(2)，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过点C的切线PC与AB的延长线交于点P，那么∠P等于（）

A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°

3、如图(3)，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC，交AC于点E，交PC于点F，连接AF．

（1）求证：AF是⊙O的切线；

（2）已知⊙O的半径为4，AF=3，求线段AC的长．

(3) (4)

4、如图(4)，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．

（1）求BC的长；

（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．

设计意图：当堂课检测，达到学习知识当节课消化完成，实现高效课堂，为孩子肩负的目的。

【板书设计】

定义

有1个公共点，则相切

圆的切线

判定

∵OA是⊙O 半径，OA ⊥直线BC ∴

BC 是⊙O 的切线．

性质

∵直线BC 是⊙O 的切线．A是⊙O 的切点，OA ⊥直线BC ∴

方法提炼：

证切线：①有交点，连半径，证垂直；

②无交点，作垂直，证半径. 有切线：见切线，连切点，得垂直

教学反思：

1、合理设计课堂结构和问题。

新课程理念及新基础教育理念都提倡“把课堂还给学生，让课堂充满活力”，让学生真正“动起来”，我认为“动”不应当是表面的、外在的，而应当使学生的思维处于活跃状态，积极思考问题，这种内在的、深层的动，才是数学课堂的动。要动的有序，动而不乱。课堂教学要的不是热闹的场面，而是对问题的深入研究与思考。因此根据这节课的内容我设置了知识梳理部分，让全体学生参与进来，即使是学习差的学生，也可以通过查阅课本完成这一部分内容，让全员都动起来。其次是典例研讨，教师引导学生帮助其分析解题思路后，先让学生口述过程，教师在规范板演解答过程。设置了两个不同类型的例题并归纳出解题方法，辅助线的做法，有了这两个例题的铺垫，在后面的习题解答中就运用的很顺利了。后面有针对例题进行挖掘，设置了把条件和结论交换，把切线判定的运用，变成切线性质的运用，这样利用一题多解和一题变多题，使学生能够充分思考题目中的每个条件，理解每个条件的作用和意义，从而一题变多题，既加深了学生对知识的理解和运用，又培养了学生的思维能力，对本节课的难点突破起到积极地作用。

2、注重培养学生的解题能力。

根据学生的数学学习情况和就要面临的中考的现实，在教学中我注意引导学生认真分析每个已知条件，由每个条件可以得到那些信息，结合要证明的结论及信息之间的联系，分析哪些是有用的，哪些是没用的，再理清思路，最后整理出来。

3、注重多种评价手段的运用。

教学中要面向大多数学生，并且给予及时的鼓励和评价。老师一个真心的微笑、学生的鼓励的掌声，大家翘起的大拇指、真诚的语言等等，让学生及时感到被认可，他就有动力投入到下面的学习中去。

当然，本节课也存在着很多不足，例如，虽然是初三，但对一些学生书写的格式还应该多强调；当学生对两个条件理解有偏差时，教师还是急于讲解，引导的不够。还有就是课堂上师生的互动还不够充分，只是小组讨论、个别提问和全班齐答的形式。针对各个不同的教学目标，应该采用学生板演、小组展示，互改纠错等多种形式激发学生的积极性和参与性，体现学生的主体地位。在练习中没把握好时间，灵活分组完成，使得练习时间稍显仓促。

在今后的教学中，一定要更加深入的钻研教材，坚持一题多解和一题多变的练习，同时充分的相信学生，给学生更多的展示自己的机会，鼓励学生，帮助他们建立自信，获得成功的体验。

教师评价：

校领导罗爱芳老师说：在过去的一些课堂教学，尤其是复习课，学生完全是在教师的支配下把知识从从老师那里搬到本子或书上，往往是教师教的累，学生学的苦，而且收效甚微。本节复习课给学生提供展示自己的平台，充分让学生参与到教学环境中来，体现了学生是学习的主体，并且不断激发学生的学习自信，让学生感受到成功的喜悦。习题中采用一题多解的方式处理使学生能深刻理解图形和条件的真正含义，培养学生发散性思维和创新思维的能力，有助于学生数学思维的培养。中考链接让学生提前接触中考题，消除学生怕中考的恐惧心理，使他们端正心态，增强自信。

数学教研组组长景晓强老师说：通过两种不同类别的典例和中考例题，

强化所学的知识，例题安排合理，有层次感，符合学生的认知发展水平。两

道典型例题所给的条件不同，学生深刻体会证明切线的不同思路，训练学生

灵活运用切线的判定定理证明圆的切线，难点得以突破。从而提高学生分析

问题解决的能力，以及演绎推理的能力。

九年级数学学科组长任雪润说：通过知识、技能、方法三方面进行梳理

知识的脉络，使学生清晰的认到切线证明的基本思路和方法，归纳突破问题

的计巧。通过组织和指导学生小结，培养学生流畅、自信的语言表达能力以

及归纳总结能力。在练习题中一道是一题多解的题目，一道是变式训练，在

教学中让学生分成小组讨论并完成练习，使不同程度的学生通过练习，得到

不同程度的发展和提高。这培养了学生敢于提出自己的见解和新的方法，提

高了学生合作交流的能力。

教研室数学教研员吕永格老师说：组织这样的一节复习课教学流程，符合以“学生发展为本”的教学指导思想，学生的主体作用突出，学生学习的潜能可以得到充分挖掘和激发。展示时让学生走上讲台，既为学生提供舞台，满足其表现欲，尝试成就感。这样的一节复习课，培养了学生语言表达能力、逻辑思维能力、应变能力等等，促使学生的个性达到良性的发展。复习课的这些环节对教师在教学中控制能力，应变能力要求还是比较高的，这就要求在今后的教学实践中还须不断尝试、不断研究，以促进教与学，在教与学中不断完善自己。