平行四边形的判定的综合练习PPT专用教学设计内容

华章文化

第六章

平行四边形

6．1 平行四边形的性质

第1课时

平行四边形的边、角的性质

习题word版

基础题

知识点1 平行四边形的概念

1．在四边形ABCD中，若AB∥CD，BC∥AD，则四边形ABCD为平行四边形．

知识点2 平行四边形的对称性

2．如图，在▱ABCD中，点A关于点O的对称点是点C．

知识点3 平行四边形的边、角的性质

3．(2018·黔东南)如图，在▱ABCD中，已知AC＝4 cm.若△ACD的周长为13 cm，则▱ABCD的周长为(D) A．26 cm

B．24 cm

C．20 cm

D．18 cm

4．在▱ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，∠A＝30°，则CD＝3__cm，AD＝5__cm，∠B＝150°，∠C＝30°，∠D＝150°．

5．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E.若∠1＝20°，则∠2的度数为110°．

6．(2017·山西)已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF，连接EF与对角线AC交于点O.求证：OE＝OF.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD. ∵BE＝DF，

∴AB＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF. ∵AB∥CD，

∴∠OAE＝∠OCF，∠E＝∠F. ∴△AOE≌△COF(ASA)．

∴OE＝OF.

中档题

7．(2017·贵阳)如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE.若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为(B) A．6

B．12

C．18

D．24

8．(2018·兰州)如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F.若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，www.sjhzhb.com

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则∠E为(B) A．102°

B．112°

C．122°

D．92°

习题word版

9．(2017·绵阳)如图，将▱ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．若点A的坐标是(6，0)，点C的坐标是(1，4)，则点B的坐标是(7，4)．

10．如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH＝EH.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BE∥CD.∴∠E＝∠2. ∵CE平分∠BCD，

∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠E. ∴BE＝BC. 又∵BH⊥EC，

∴CH＝EH(三线合一)．

综合题

11．(易错题)(2017·通辽)在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F.若AD＝11，EF＝5，则AB＝8或3．

提示：根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，易得出AB＝BE＝CD＝CF，分两种情况，即可得到结论．

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第2课时

平行四边形的对角线的性质

习题word版

基础题

知识点

平行四边形的对角线互相平分

1．平行四边形的对角线一定具有的性质是(B) A．相等

B．互相平分

C．互相垂直

D．互相垂直且相等

2．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为(B) A．13 B．17 C．20 D．26

3．如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.如果AC＝12，BD＝10，AB＝m，那么m的取值范围是(A) A．1＜m＜11

B．2＜m＜22 C．10＜m＜12

D．2＜m＜6

4．(教材P139习题T2变式)如图，在▱ABCD中，已知AB⊥AC.若AB＝4 cm，AC＝6 cm，则BD的长为(C) A．8 cm

B．9 cm C．10 cm

D．11 cm

5．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O.已知AB＝5 cm，△OAB的周长比△BOC的周长小3 cm，则AD的长为8__cm．

6．如图，▱ABCD和▱EBFD的顶点A，C，E，F在同一条直线上，求证：AE＝CF.

证明：连接BD，交EF于点O. ∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC. ∵四边形EBFD为平行四边形，

∴OE＝OF. ∴OE－OA＝OF－OC，即AE＝CF.

易错点

考虑不全面致错

7．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，则图中全等三角形共有(A)

A．7对

B．6对

C．5对

D．4对

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习题word版

中档题

8．(2017·眉山)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为(C) A．14

B．13

C．12

D．10

9．(2018·衡阳)如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，连接CM.如果△CDM的周长为8，那么▱ABCD的周长是16．

10．如图，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为12．

11．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是AB边上一点，只用无刻度直尺在CD边上作点F，使得CF＝AE. (1)作出满足题意的点F，简要说明你的作图过程；

(2)依据你的作图，求证：CF＝AE.

解：(1)连接EO并延长交CD于点F，则F点即为所求．

(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝CO，AB∥CD.∴∠EAO＝∠FCO. 在△AOE和△COF中，

∠EAO＝∠FCO，

AO＝CO，∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)．∴AE＝CF.

综合题

12．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内．若点B的落点记为B′，则DB′的长为2．

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6．2 平行四边形的判定

第1课时

平行四边形的判定定理1、2 习题word版

基础题

知识点1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

1．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.若∠B＝110°，则∠A的度数为(C)

A．110°

B．80°

C．70°

D．90°

2．用两根长40 cm的木条作为四边形的一组对边，再用两根长30 cm的木条作为四边形的另一组对边，拼成一个四边形，这个四边形是平行四边形，其根据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

3．如图，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝x－5，DC＝x－3，AD＝11－x，BD＝4，BD⊥BC，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．

解：四边形ABCD是平行四边形．理由：

∵BC＝x－5，DC＝x－3，BD＝4，BD⊥BC，

222∴CD＝BD＋BC，

22即(x－3)＝16＋(x－5). 解得x＝8. ∴BC＝x－5＝3，DC＝x－3＝5，AD＝11－x＝3. ∵AB＝5，

∴AB＝CD，AD＝BC. ∴四边形ABCD是平行四边形．

知识点2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4．小李拿出两段长度相等的木棒平行摆放，然后顺次连接四个端点得到的图形一定是平行四边形．

5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：答案不唯一，如：AD＝BC(或AB∥DC)，使四边形ABCD为平行四边形(不添加任何辅助线)．

6．如图，△ABC≌△A′B′C′，点B，C′，C，B′在同一直线上，且B与B′不重合，则以点A，B，A′，B′为顶点的四边形一定是平行四边形．(填某种特殊四边形的名称)

7．如图，在四边形ABCD中，E是BC延长线上的一点，AD＝BC，∠D＝∠DCE.求证：四边形ABCD是平行四边形．

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习题word版

证明：∵∠D＝∠DCE，

∴AD∥BC. 又∵AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

8．如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形．求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：∵四边形AEFD是平行四边形，

∴AD平行且等于EF. 又∵四边形EBCF是平行四边形，

∴BC平行且等于EF. ∴AD平行且等于BC. ∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．

易错点

对平行四边形的判定方法理解错误

9．(2018·玉林)在四边形ABCD中：①AB∥CD；②AD∥BC；③AB＝CD；④AD＝BC.从以上条件中选择两个条件，使四边形ABCD为平行四边形的选法共有(B) A．3种

B．4种

C．5种

D．6种

中档题

10．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，则图中平行四边形共有(B) A．2个

B．4个

C．6个

D．8个

11．(2018·东营)如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是(D) A．AD＝BC

B．CD＝BF

C．∠A＝∠C

D．∠F＝∠CDE

12．如图，在平面直角坐标系中，以A(－1，0)，B(2，0)，C(0，1)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点的是(B) A．(3，1)

B．(－4，1)

C．(1，－1)

D．(－3，1) www.sjhzhb.com

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习题word版

13．(2017·河南模拟改编)如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD.若∠ABC＋∠ADC＝120°，则∠A的度数是120°．

14．如果一个四边形的边长依次是a，b，c，d，且a＋b＋c＋d＝2ac＋2bd，那么这个四边形是平行四边形．

15．如图，在▱ABCD中，AF＝CH，DE＝BG.求证：四边形EFGH是平行四边形．

2222

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AD＝BC，AB＝DC. 又∵AF＝CH，DE＝BG，

∴AE＝CG，FB＝DH. 在△AEF和△CGH中，

AF＝CH，∠A＝∠C，

AE＝CG，∴△AEF≌△CGH(SAS)．

∴EF＝GH. 同理可证：EH＝FG，

∴四边形EFGH是平行四边形．

综合题

16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；同时，点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．求当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．

1解：由题意可知，AP＝t，CQ＝2t，CE＝BC＝8.∵AD∥BC，∴当PD＝EQ时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平2行四边形．

①当2t＜8，即t＜4时，点Q在C，E之间，如图甲．

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此时，PD＝AD－AP＝6－t，EQ＝CE－CQ＝8－2t，

由6－t＝8－2t，得t＝2.

习题word版

图甲

图乙

②当8<2t<16且t<6，即4

此时，PD＝AD－AP＝6－t，EQ＝CQ－CE＝2t－8，

14由6－t＝2t－8，得t＝. 314∴当运动时间t为2或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．

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第2课时

平行四边形的判定定理3 习题word版

基础题

知识点

对角线互相平分的四边形是平行四边形

1．下列能判定四边形是平行四边形的是(D) A．对角线互相垂直

B．对角线相等

C．对角线互相垂直且相等

D．对角线互相平分

2．如图，AO＝OC，BD＝18 cm，则当OB＝9cm时，四边形ABCD是平行四边形．

3．如图，AC，BD是相交的两条线段，点O为它们的中点．当BD绕点O旋转时，连接AB，BC，CD，DA，所得到的四边形ABCD始终为平行四边形．

4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO.求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：∵AB∥CD，

∴∠BAO＝∠DCO. 在△AOB和△COD中，

∠BAO＝∠DCO，

AO＝CO，∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD(ASA)．

∴OB＝OD. ∴四边形ABCD是平行四边形．

中档题

5．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有(B) A．3种

B．4种

C．5种

D．6种

6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为(D)

A．6

B．12

C．20

D．24 www.sjhzhb.com

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习题word版

7．(教材P145习题T3变式)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，AF＝CE，BH＝DG.求证：GF∥EH.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC. 又∵AF＝CE，

∴AF－OA＝CE－OC，即OF＝OE. 同理：OG＝OH. ∴四边形EGFH是平行四边形．

∴GF∥EH.

综合题

8．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，点E在线段BO上从点B出发以1 cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O出发以2 cm/s的速度运动．若点E，F同时运动，设运动时间为t s，运动过程中是否存在某一时刻，使得四边形AECF为平行四边形？

解：要使四边形AECF为平行四边形，

则需AO＝OC，EO＝OF. ∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AO＝OC＝3 cm，BO＝OD＝6 cm. ∴EO＝6－t，OF＝2t. 由题意可得0≤t≤3. 由6－t＝2t，得t＝2，满足0≤t≤3，

∴当t为2时，四边形AECF是平行四边形．

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第3课时

平行线之间的距离及平行四边形判定方法的选择

习题word版

基础题

知识点1 平行线之间的距离

1．平行线之间的距离是指(B) A．从两条平行线中的一条直线上一点到另一条直线的垂线段

B．从两条平行线中的一条直线上一点到另一条直线的垂线段的长度

C．从两条平行线中的一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度

D．从两条平行线中的一条直线上一点到另一条直线上一点间线段的长度

2．如图，若▱ABCD的面积为20，BC＝5，则边AD与BC间的距离为4．

3．如图，AB∥CD，BC⊥AB.若AB＝4 cm，S△ABC＝12 cm，则△ABD中AB边上的高为6cm. 2

知识点2 平行四边形判定方法的选择

4．如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，且AE＝CF，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H.求证：EF和GH互相平分．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC. 又∵AE＝CF，

∴四边形AFCE是平行四边形．∴AF∥CE. 同理可证：BE∥DF. ∴四边形GFHE是平行四边形，

∴EF与GH互相平分．

易错点

位置不确定造成漏解

5．已知直线a∥b∥c，a与b的距离为5 cm，b与c的距离为2 cm，则a与c的距离是3__cm或7__cm．

中档题

6．如图，M是▱ABCD的边AB上任意一点，设△AMD的面积为S1，△BMC的面积为S2，△CDM的面积为S，则(A) A．S＝S1＋S2

B．S＞S1＋S2

C．S＜S1＋S2

D．不能确定

7．如图，在AF∥BD，AC＝BD，AE＝CF，下面给出四个结论：①AB＝CD；②BE＝DF；③S四边形ABDC＝S四边形BDFE；④ S△ABE＝S△CDF.其中正确的有(D) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

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8．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了两块碎玻璃，其编号应该是②③．

19．(2017·西安高新区期中)如图，将▱ABCD的AD边延长至点E，使DE＝AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD. 2(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；

(2)若AB＝3，AD＝4，∠A＝60°，求CE的长．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC. 1∵DE＝AD，F是BC边的中点，

2∴DE＝FC，DE∥FC. ∴四边形CEDF是平行四边形．

(2)过点D作DN⊥BC于点N. ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝60°，

∴∠BCD＝∠A＝60°.∴∠NDC＝30°. ∵AB＝3，AD＝4. 1333∴DC＝3，NC＝DC＝，DN＝. 222122∴FN＝.∴CE＝DF＝DN＋FN＝7. 2

综合题

10．(教材P149习题T5变式)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，A，B，C三点在格点上，格点△ABP的面积为△ABC的2倍，则格点P的个数有(D)

A．3个

B．4个

C．5个

D．6个

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小专题12 平行四边形的证明思路

类型1 若已知(已证)四边形中边的关系，则考虑利用以下思路：

思路1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形

1．如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC∥BD.求证：四边形BECD是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，即BE∥DC. 又∵EC∥BD，

∴四边形BECD是平行四边形．

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，过点D作BC的平行线，与AC相交于点E，点F在BC上，EF＝EC.求证：四边形DBFE是平行四边形．

证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C. ∵EF＝EC，

∴∠EFC＝∠C. ∴∠B＝∠EFC. ∴AB∥EF. 又∵DE∥BC，

∴四边形DBFE是平行四边形．

3．已知，如图，在▱ABCD中，MN∥AC，分别交DA，DC的延长线于点M，N，交AB，CB于点P，Q.求证：MQ＝NP.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，即AM∥CQ. ∵MN∥AC，∴MQ∥AC. ∴四边形ACQM为平行四边形．

∴MQ＝AC. 同理可证，四边形APNC是平行四边形，

∴NP＝AC.∴MQ＝NP.

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思路2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

4．如图，以▱ABCD的边AD，BC为边分别向外作等边△ADE和等边△BCF.求证：四边形DEBF是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠DCB. ∵△ADE和△BCF都是等边三角形，

∴∠DAE＝∠BCF＝60°，AD＝DE＝AE，BF＝BC＝CF. ∴DE＝BF，AE＝CF. ∵∠EAB＝∠DAB＋∠DAE，∠FCD＝∠DCB＋∠BCF，

∴∠EAB＝∠FCD. 在△EAB和△FCD中，

AE＝CF，∠EAB＝∠FCD，

AB＝CD，∴△EAB≌△FCD(SAS)．

∴BE＝FD. 又∵DE＝BF，

∴四边形DEBF是平行四边形．

思路3 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

5．如图，在▱ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形MNCD是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC. ∵M，N分别是AD，BC的中点，

∴MD＝NC，MD∥NC. ∴四边形MNCD是平行四边形．

6．(2018·孝感)如图，点B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形．

证明：∵AB∥DE，

∴∠B＝∠DEF. ∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F. ∵BE＝CF，

∴BE＋CE＝CF＋CE.∴BC＝EF. www.sjhzhb.com

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∠B＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，BC＝EF，

∠ACB＝∠F，

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∴△ABC≌△DEF(ASA)．

∴AB＝DE. ∵AB∥DE，

∴四边形ABED是平行四边形．

类型2 若已知(已证)四边形中对角线的关系，则考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”

7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD. ∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO. 在△FDO和△EBO中，

∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO，

OD＝OB，∴△FDO≌△EBO(AAS)．

∴OF＝OE. 又∵OA＝OC，

∴四边形AECF是平行四边形．

8．如图，在▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，

∴AD∥BC. ∴∠EAO＝∠FCO. ∵O为AC的中点，

∴OA＝OC. 在△OAE和△OCF中，

∠EAO＝∠FCO， OA＝OC，∠AOE＝∠COF，∴△OAE≌△OCF(ASA)．∴OE＝OF. 同理可证得OG＝OH. ∴四边形EGFH是平行四边形．

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小专题13 平行四边形中的折叠问题

——教材P160T21的变式与应用

(教材母题变式)如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E.求证：△AEC是等腰三角形．

证明：由折叠的性质，知∠ACB＝∠B′CA. ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC. ∴∠EAC＝∠ACB. ∴∠EAC＝∠B′CA. ∴EA＝EC. ∴△AEC是等腰三角形．

拓展问题1：求证：△AB′E≌△CDE. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠CDE，AB＝CD. 由折叠的性质，知∠AB′E＝∠B，AB′＝AB. ∴∠AB′E＝∠CDE，AB′＝CD. 又∵∠AEB′＝∠CED，

∴△AB′E≌△CDE(AAS)．

拓展问题2：连接B′D，则B′D与AC是否平行？说明理由．

解：B′D∥AC.理由如下：

∵△AB′E≌△CDE，

∴B′E＝DE. ∴∠EB′D＝∠EDB′. 又∵∠CED是△B′ED的一个外角，

∴∠CED＝∠EB′D＋∠EDB′＝2∠EDB′. 又∵∠CED是△AEC的一个外角，且∠EAC＝∠B′CA，

∴∠CED＝∠EAC＋∠B′CA＝2∠EAC. ∴∠EAC＝∠EDB′. ∴B′D∥AC. 拓展问题3：若△CDE是等边三角形，BC＝6，求阴影部分的面积．

解：∵△CDE是等边三角形，

∴ED＝DC＝CE，∠ADC＝∠CED＝60°. ∵AE＝EC，

1∴∠EAC＝∠ECA＝∠CED＝30°，

21AE＝EC＝ED＝DC＝AD. 2∵四边形ABCD是平行四边形，

1∴AD＝BC.∴CD＝BC＝3. 2∵∠ACD＝180°－∠DAC－∠ADC＝90°，

∴AC＝AD－CD＝33. 11193∴S阴影＝S△ACD＝×AC·CD＝. 2224www.sjhzhb.com

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22

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习题word版

1．如图，在▱ABCD中，将△ABD沿BD折叠，点A落在点E处．若∠ABD＝40°，∠CBE＝15°，则∠BDE的度数为25°．

2．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，EF＝2，∠DEF＝60°.将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为6．

3．如图，在▱ABCD中，点P为BD上一点，将△PAD沿AP折叠，点D恰好落在点C处，连接AC.若∠PAD＝20°，∠ADP＝25°，则∠BDC的度数为45°．

4．如图，将平行四边形纸片ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．求证：

(1)AE＝AF；

(2)△ABE≌△AGF.

证明：(1)由折叠的性质可得∠CEF＝∠AEF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC. ∴∠CEF＝∠EFA. ∴∠AEF＝∠EFA. ∴AE＝AF. (2)由折叠的性质，得AG＝CD，∠EAG＝∠C，∠G＝∠D. ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠C. ∴AB＝AG，∠B＝∠G，∠BAD＝∠EAG. ∴∠BAD－∠EAF＝∠EAG－∠EAF，即∠BAE＝∠GAF. ∴△ABE≌△AGF(ASA)．

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6.3 三角形的中位线

习题word版

基础题

知识点1 三角形中位线定理

1．如图，在△ABC中，AB＝8，点D，E分别是BC，CA的中点，连接DE，则DE＝(B) A．2

B．4

C．6

D．8

2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为(C) A．50°

B．60°

C．70°

D．80°

3．(2017·张家界)如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．若△ADE的周长是6，则△ABC的周长是(B) A．6

B．12

C．18

D．24

4．(2017·怀化)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为10cm.

5．如图，在△ABC中，点D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点．求证：四边形DECF是平行四边形．

证明：∵D，F分别是边AB，AC的中点，

∴DF∥BC. 同理：DE∥AC. ∴四边形DECF是平行四边形．

6．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝8，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，点E是AB的中点，连接DE.求线段DE的长．

解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

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∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线．

∴点D是BC的中点．

又∵点E是AB的中点，

∴DE是△ABC的中位线．

1∴DE＝AC＝4. 2

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知识点2 三角形中位线定理的应用

7．(2017·宜昌)如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED.现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝(B) A．50 m

B．48 m

C．45 m

D．35 m

8．如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是(C) A．15米

B．20米

C．25米

D．30米

易错点

对三角形的中位线理解不清

9．如图，已知在△ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，且DE＝2 cm，求BC的长．

解：延长ED至点F，使得DF＝DE. ∵点D为AB的中点，

∴AD＝DB. AD＝BD，在△ADE和△BDF中，∠ADE＝∠BDF，

DE＝DF，∴△ADE≌△BDF(SAS)．

∴∠AED＝∠F.∴BF∥CE. 又∵DE∥BC，

∴四边形EFBC是平行四边形．

∴BC＝EF＝2DE＝4 cm.

中档题

10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为(B) www.sjhzhb.com

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A．7

B．8

C．9

D．10 习题word版

11．如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE＝48°，则∠APD等于(B) A．42°

B．48°

C．52°

D．58°

12．如图，AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝25°，G，H分别为CF，CE的中点，则∠1＝145°．

13．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝35°，则∠PFE的度数是35°．

114．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝BC，2求证：四边形OCFE是平行四边形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴点O是BD的中点．

又∵点E是边CD的中点，

∴OE是△BCD的中位线．

1∴OE∥BC，且OE＝BC. 2www.sjhzhb.com

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1又∵CF＝BC，

2

习题word版

∴OE＝CF. 又∵点F在BC的延长线上，

∴OE∥CF. ∴四边形OCFE是平行四边形．

15．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，求线段EF的长．

解：∵AF是△ABC的角平分线，

∴∠GAF＝∠CAF. 又∵CG⊥AD，

∴∠AFC＝∠AFG＝90°. 在△AGF和△ACF中，

∠GAF＝∠CAF，

AF＝AF，∠AFG＝∠AFC，∴△AGF≌△ACF(ASA)．

∴AG＝AC＝3，GF＝CF. ∴BG＝AB－AG＝4－3＝1. 又∵BE＝CE，

∴EF是△BCG的中位线．

11∴EF＝BG＝. 22

综合题

16．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，点E，F分别为AD，BC的中点，延长BA，CD，分别交射线FE于P，Q两点．求证：∠P＝∠CQF.

证明：连接BD，作BD的中点M，连接EM，FM. ∵点E是AD的中点，

1∴EM∥AB，EM＝AB. 2∴∠MEF＝∠P. www.sjhzhb.com

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1同理可证：FM∥CD，FM＝CD. 2∴∠MFE＝∠CQF. 又∵AB＝CD，

∴EM＝FM. ∴∠MEF＝∠MFE.

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∴∠P＝∠CQF. www.sjhzhb.com

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周测(6.1～6.3) (时间：40分钟

满分：100分)

一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下面的性质中，平行四边形不一定具有的是(A) A．对角互补

B．邻角互补

C．对角相等

D．对边相等

2．用一根6米长的绳子围成一个平行四边形，其中一边长1.6米，则其邻边长为(B) A．1.2米

B．1.4米

C．1.6米

D．1.8米

3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，添加下列条件不能使四边形ABCD成为平行四边形的是(D) A．AD＝BC

B．OA＝OC

C．∠ABC＋∠BCD＝180°

D．AB＝CD

4．如图，在▱ABCD中，AE平分∠DAB，∠B＝100°，则∠DEA等于(D) A．100°

B．80°

C．60°

D．40°

5．

6．如图，在▱ABCD中，过点P作直线EF，GH分别平行于AB，BC，那么图中共有平行四边形(D) A．4个

B．5个

C．8个

D．9个

5

6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE＝DC，∠C＝80°，则∠A等于(C) A．80°

B．90°

C．100°

D．110°

7．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是(D) 1A．OE＝DC 2

B．OA＝OC D．∠OBE＝∠OCE C．∠BOE＝∠OBA

8．如图，在▱ABCD中，∠ACB＝25°，现将▱ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，则∠GFE的度数(C) A．135°

B．120°

C．115°

D．100°

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9．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝3，AC＝2，BD＝4，则AE的长为(D) A.3

2

3B. 2

C.21

7

D.221

7

10．如图所示，已知▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠CFE＝110°.则下列结论：①四边形ABFE为平行四边形；②△ADE是等腰三角形；③▱ABCD与▱DCFE全等；④∠DAE＝25°.其中正确的有(B) A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

二、填空题(每小题4分，共20分) 11．在▱ABCD中，已知∠A－∠B＝60°，则∠C＝120°．

12．如图，已知直线AB∥CD，AB与CD之间的距离为3，∠BAC＝60°，则AC＝2．

13．如图，点E，F分别在▱ABCD的边BC，AD上，AC，EF交于点O，请你添加一个条件(只添一个即可)，使四边形AECF是平行四边形，你所添加的条件是AF＝CE(答案不唯一)．

14．如图，在△ABC中，∠A＝∠B，D是AB上任意一点，DE∥BC，DF∥AC，AC＝4 cm，则四边形DECF的周长是8__cm．

15．如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，∠BAC≠90°.将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形．若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出3种平行四边形．

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三、解答题(共50分) 16．(10分)如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的∠1是65°，那么光线与纸板左上方所成的∠2是多少度？请说明理由．

解：∠2＝65°. 理由：由题意知AB∥CD，BC∥AD，

∴四边形ABCD为平行四边形．

∴∠2＝∠1. ∵∠1＝65°，

∴∠2＝65°.

117．(12分)如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF＝AB，2连接EF.判断四边形ADEF的形状，并加以证明．

解：四边形ADEF是平行四边形．证明如下：

∵点D，E分别是边BC，AC的中点，

1∴DE∥BF，DE＝AB. 21∵AF＝AB，

2∴DE＝AF. ∴四边形ADEF是平行四边形．

18．(14分)如图，点B，E分别在AC，DF上，AF分别交BD，CE于点M，N，∠A＝∠F，∠1＝∠2. (1)求证：四边形BCED为平行四边形；

(2)已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．

解：(1)证明：∵∠A＝∠F，

∴DF∥AC. 又∵∠1＝∠2，∠1＝∠DMF，

∴∠2＝∠DMF. ∴DB∥EC. ∴四边形BCED为平行四边形．

(2)∵BN平分∠DBC，

∴∠DBN＝∠CBN. www.sjhzhb.com

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∵BD∥EC，

∴∠DBN＝∠CNB. ∴∠CBN＝∠CNB. ∴BC＝CN. ∵四边形BCED为平行四边形，

∴BC＝DE＝2. ∴CN＝2.

19．(14分)提出命题：

如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC，求证：四边形ABCD是平行四边形．

小明提供了如下解答过程：

证明：连接BD. ∵∠1＋∠3＝180°－∠A，∠2＋∠4＝180°－∠C，∠A＝∠C，

∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4. ∵∠ABC＝∠ADC，

∴∠1＝∠4，∠2＝∠3. ∴AB∥CD，AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)．

反思交流：

(1)请问小明的解法正确吗？如果有错，请写出正确的证明过程；

(2)用语言叙述上述命题；

运用探究：

下列条件中，能确定四边形ABCD是平行四边形的是(B) A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4 B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶3∶1∶3 C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶3∶3∶2 D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶1∶3∶3

解：(1)正确．理由如下：

∵∠1＋∠3＝180°－∠A，∠2＋∠4＝180°－∠C，∠A＝∠C，

∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4.①

∵∠ABC＝∠ADC，

即∠1＋∠2＝∠3＋∠4，②

由①②相加、相减得：∠1＝∠4，∠2＝∠3. ∴AB∥CD，AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)．

(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

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6．4 多边形的内角和与外角和

第1课时

多边形的内角和

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基础题

知识点

多边形的内角和

1．五边形的内角和是(A) A．540°

B．720°

C．900°

D．1 080°

2．(2018·乌鲁木齐)一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数是(C) A．4

B．5

C．6

D．7 3．(n＋2)边形的内角和比n边形的内角和大(B) A．180°

B．360°

C．n·180°

D．n·360°

4．一个多边形从一个顶点出发有4条对角线，这个多边形的内角和为(B) A．720°

B．900°

C．1 800°

D．1 440°

5．(2018·菏泽)若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是8．

6．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB＝36°．

7．小明想为校运动会设计一个内角和为2 018°的多边形图案标志，他的想法能实现吗？请你利用所学的知识加以说明．

解：假设这样的多边形图案存在，其边数为n. 由(n－2)·180°＝2 018°，

19解得n＝13. 90因为求得的n不是整数，所以其想法不能实现．

中档题

8．(2017·宜昌)如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，那么下列四种剪法中，符合要求的是(B)

A．①②

B．①③

C．②④

D．③④

9．如图所示，一个含60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为(C) A．120°

B．180°

C．240°

D．300°

10．如图，一块四边形绿化园地，四角向外都做有半径为6的扇形喷水池(阴影部分)，则这四个喷水池面积和为108π(结果保留π)．

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11．小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1 840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍．

(1)若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？

(2)若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？

解：(1)设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x，则

(n－2)·180°＝1 840°－x. ∵1 840°＝10×180°＋40°，内角和为180°的倍数，

∴x＝40°，n－2＝10.∴n＝12. 故这个多边形的边数是12. (2)设这个多边形的边数是m，没有计算在内的内角的度数是y，则

(m－2)·180°＝1 840°＋y，

∵1 840°＝11×180°－140°，内角和为180°的倍数，

∴y＝140°，m－2＝11. ∴m＝13. 故漏算的那个内角是140°，这个多边形是十三边形．

综合题

12．(2018·聊城)如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是180°或360°或540°．

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第2课时

多边形的外角和

习题word版

基础题

知识点

多边形的外角及外角和

1．五边形的外角和等于(B) A．180°

B．360°

C．540°

D．720°

2．(2018·宁波)已知一个正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的边数是(A) A．6

B．7 C．8

D．9 3．下列多边形中，内角和与外角和相等的是(A) A．四边形

B．五边形

C．六边形

D．八边形

4．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于(C) A．108°

B．90°

C．72°

D．60°

5．(2017·遵义)正多边形的一个外角是30°，则这个多边形的内角和是1__800°．

6．(2018·山西)图1是我国古代建筑中的一种窗格．其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始清溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则12345=360度．

7．一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，求这个多边形的边数．

解：设多边形的边数为n.由题意，得

(n－2)·180°＝5×360°. 解得n＝12. ∴这个多边形的边数为12.

中档题

8．一个n边形变成(n＋1)边形，外角和将(D) A．减少180°

B．增加90°

C．增加180°

D．不变

9．若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是(A) A．3

B．4 C．5

D．6 10．已知一个多边形的每个内角都比相邻外角的3倍还多20°，求这个多边形的边数．

解：设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角等于(3α＋20)°，由题意，得

(3α＋20)＋α＝180. 解得α＝40，即多边形的每个外角为40°. 又∵多边形的外角和为360°，360÷40＝9，

∴多边形的边数为9.

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综合题

11．如图所示，小明从A点出发，沿直线前进8米后左转40°，再沿直线前进8米，又左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时：

(1)整个行走路线是什么图形？

(2)一共走了多少米？

360解：(1)设行走路线是正n边形，依题意，得n＝＝9. 40所以行走路线是正九边形．

(2)8×9＝72(米)．

答：一共走了72米．

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章末复***行四边形

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分点突破

知识点1 平行四边形的性质与判定

1．(2017·湘西)如图所示，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，则下列结论中错误的是(D) A．OA＝OC

B．∠ABC＝∠ADC C．AB＝CD

D．AC＝BD

2．(2018·泰州)如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O.若AD＝6，AC＋BD＝16，则△BOC的周长为14．

3．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，从下列条件：①AD∥BC；②AB＝CD；③AO＝CO；④∠ABC＝∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是①③或①④．(填写一组序号即可)

4．如图所示，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为50°．

5．(2017·菏泽)如图，E是▱ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F.若CD＝6，求BF的长．

解：∵E是AD的中点，

∴AE＝DE. ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD＝6，AB∥CD. ∴∠F＝∠DCE. 在△AEF和△DEC中，

∠F＝∠DCE，∠AEF＝∠DEC，

AE＝DE，∴△AEF≌△DEC(AAS)．∴AF＝CD＝6. ∴BF＝AB＋AF＝12. www.sjhzhb.com

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6．(2018·恩施)如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O.求证：AD与BE互相平分．

证明：连接BD，AE. ∵FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，

∴FB＋FC＝CE＋FC，∠ABC＝∠DEF，

∠ACB＝∠DFE. ∴BC＝EF，

在△ACB和△DFE中，

∠B＝∠E，

BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，∴△ACB≌△DFE(ASA)．∴AB＝DE. 又∵AB∥ED，∴四边形ABDE为平行四边形．

∴AD与BE互相平分．

知识点2 三角形的中位线

7．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F在BC上，DE是∠AEF的平分线．若∠C＝80°，则∠EFB的度数是(A) A．100°

B．110°

C．115°

D．120°

8．(2017·河北)如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离，于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝200 m，则A，B之间的距离为100m.

知识点3 多边形的内角和与外角和

9．内角和为540°的多边形是(C)

10．(2018·怀化)一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数为10．

易错题集训

11．(2018·呼和浩特)顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AB∥CD；②BC＝AD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠D四个条件中任取两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的选法共有(C) A．5种

B．4种

C．3种

D．1种

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12．在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，将BC分成4 cm和6 cm两部分，则▱ABCD的周长为(C) A．28 cm

B．32 cm C．28 cm或32 cm

D．无法确定

13．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(4，0)，B(2，3)，则第四个顶点C的坐标是(2，－3)或(6，3)或(－2，3)．

14．过一个多边形的一个顶点作一条直线，把这个多边形截掉两个角，它的内角和变为1 260°，则这个多边形原来的边数为10或11．

常考题型演练

15．(2018·宁波)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是边CD的中点，连接OE.若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为(B) A．50°

B．40°

C．30°

D．20°

16．如图，在▱ABCD中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.若▱ABCD的周长为48，DE＝5，DF＝10，则▱ABCD的面积等于(B) A．87.5

B．80

C．75

D．72.5

17．如图，过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的▱AEMG的面积S1与▱HCFM的面积S2的大小关系是(C) A．S1＞S2

B．S1＜S2

C．S1＝S2

D．2S1＝S2

18．如图是由4个边长为1的正方形构成的网格，用没有刻度的直尺在这个网格中最多可以作出一组对边长度为5的平行四边形的个数是(C) A．2个

B．4个

C．6个

D．8个

19．(2017·武汉)如图，在▱ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE.若AE＝AB，则∠EBC的度数为30°．

20．如图，直线AE∥BD，点C在BD上．若AE＝4，BD＝8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为8．

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21．(2017·青海)平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3＋∠1－∠2＝24°．

22．(教材P159复习题T11变式)如图，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1三边的中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2三边的中点，得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为1．

23．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F.若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为36°．

24．已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°. (1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由；

(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x. 解：(1)∵360°÷180°＝2，

630°÷180°＝3……90°，

∴甲的说法对，乙的说法不对．

360°÷180°＋2＝2＋2＝4.

故甲同学说的边数n是4. (2)依题意，有

(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°，

解得x＝2. 故x的值是2.

25．(2018·黄冈)如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE. (1)求证：△ABF≌△EDA；

(2)延长AB与CF相交于点G.若AF⊥AE，求证：BF⊥BC.

解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝BF，CD＝DE，

∴AB＝CD＝DE，BF＝BC＝AD. 又∵∠ABC＝∠ADC，∠CBF＝∠CDE，∴∠ABF＝∠ADE. AB＝ED，在△ABF和△EDA中，∠ABF＝∠EDA，

BF＝DA，www.sjhzhb.com

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∴△ABF≌△EDA(SAS)．

(2)由(1)知∠EAD＝∠AFB，∠GBF＝∠AFB＋∠BAF. 由▱ABCD可得，AD∥BC，

∴∠DAG＝∠CBG. ∴∠FBC＝∠GBF＋∠CBG ＝∠EAD＋∠BAF＋∠DAG ＝∠EAF＝90°. ∴BF⊥BC.

26．如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG. (1)求证：四边形DEFG是平行四边形；

(2)如果∠OBC＝45°，∠OCB＝30°，OC＝4，求EF的长．

解：(1)证明：∵AB，OB，OC，AC的中点分别为D，E，F，G，

11∴DG∥BC，DG＝BC，EF∥BC，EF＝BC. 22∴DG∥EF，DG＝EF. ∴四边形DEFG是平行四边形．

(2)过点O作OM⊥BC于点M，

在Rt△OCM中，∠OCM＝30°，OC＝4，

1∴OM＝OC＝2.∴CM＝23. 2在Rt△OBM中，∠OBM＝∠BOM＝45°，

∴BM＝OM＝2. ∴BC＝BM＋CM＝2＋23. 1∴EF＝BC＝1＋3. 2

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单元测试(六) 平行四边形

(时间：40分钟

满分：100分) 习题word版

一、选择题(每小题3分，共30分) 1．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝2，则CD＝(A) A．3

B．2

C．1

D．5

2．若一个多边形的每个外角都等于36°，则它的内角和是(B) A．1 080°

B．1 440°

C．1 800°

D．2 160°

3．如图，为测量池塘岸边A，B两点之间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点D，E之间的距离是14米，则A，B两点之间的距离是(C) A．18米

B．24米

C．28米

D．30米

4．如图，在▱ABCD中，F是AD上的一点，CF＝CD.若∠B＝72°，则∠AFC的度数是(B) A．144°

B．108°

C．102°

D．78°

5．如图所示，在平面直角坐标系内，原点O恰好是▱ABCD对角线的交点．若A点坐标为(2，3)，则C点坐标为(C) A．(－3，－2) B．(－2，3)

C．(－2，－3) D．(2，－3)

6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，D是BC上一动点(D与B，C不重合)，且DE∥AB，DF∥AC，则四边形DEAF的周长是(C)

A．24

B．18

C．16

D．12 7．某班同学对《多边形的内角和与外角和》的内容进行激烈地讨论，小丽说：“多边形的边数每增加1，则内角和增加180°”，小钟说：“多边形的边数每增加1，则外角和增加180°”，小刚说：“多边形的内角和不小于其外角和”，小华说：“只要是凸多边形，不管有几边，其外角和都是360°”．你认为正确的是(A) A．小丽和小华

B．小钟和小刚

C．小刚和小华

D．以上都不对

8．如图，▱ABCD纸片，∠A＝120°，AB＝4，BC＝5，剪掉两个角后，得到六边形AEFCGH，它的每个内角都是120°，且EF＝1，HG＝2，则这个六边形的周长为(B) A．12

B．15

C．16

D．18 www.sjhzhb.com

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9．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中能判定四边形DEBF是平行四边形的有(D) A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

10．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P.若BC＝10，则PQ的长为(C)

3A. 2

5B. 2

C．3

D．4

二、填空题(每小题4分，共20分) 11．在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC.如果∠B＝50°，那么∠D＝50°．

12．如图，在△ABC中，M，N分别是AB，AC的中点，且∠A＋∠B＝136°，则∠ANM＝44°．

13．已知：如图，在▱ABCD中，BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，E在AD上，BE＝8 cm，CE＝6 cm，则▱ABCD的周长为30cm.

14．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于108°．

15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝6，点D，E分别是BC，AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于点F，则四边形AFBD的面积为12．

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三、解答题(共50分) 16．(6分)如果两个多边形的边数之比为1∶2，这两个多边形的内角之和为1 440°，请你确定这两个多边形的边数．

解：设边数较少的多边形的边数为n，则

(n－2)·180＋(2n－2)·180＝1 440. 解得n＝4，则2n＝8. 答：这两个多边形的边数分别为4，8.

17．(8分)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF.

证明：连接BE，DF. ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC. ∵AE＝CF，

∴DE＝BF. ∴四边形BEDF是平行四边形．

∴OE＝OF.

18．(10分)已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O.F，G分别是OB，OC的中点，连接DF，FG，EG，DE，求证：DF＝EG.

证明：由题意得点E，D分别是AC，AB的中点，

∴ED是△ABC的中位线．

1∴ED平行且等于BC. 2∵F，G分别是BO，CO的中点，

1∴FG是△OBC的中位线．∴FG平行且等于BC. 2∴ED平行且等于FG. ∴四边形EDFG是平行四边形．

∴DF＝EG.

19．(12分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△A′BD. (1)利用尺规作出△A′BD(要求保留作图痕迹，不写作法)；

(2)设DA′与BC交于点E，求证：△BA′E≌△DCE. www.sjhzhb.com

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解：(1)①作∠A′BD＝∠ABD；

②以B为圆心，AB长为半径画弧，交BA′于点A′；

③连接DA′，则△A′BD即为所求．

(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，∠BAD＝∠C. 由折叠的性质可得∠BA′D＝∠BAD，A′B＝AB，

∴∠BA′D＝∠C，A′B＝CD. 在△BA′E和△DCE中，

∠BA′E＝∠C，∠BEA′＝∠DEC，

A′B＝CD，∴△BA′E≌△DCE(AAS)．

20．(14分)在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F.

(1)如图1，若点P在BC边上，此时PD＝0，易证PD，PE，PF与AB满足的数量关系是PD＋PE＋PF＝AB；当点P在△ABC内时，先在图2中作出相应的图形，并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系，然后证明你的结论；

(2)如图3，当点P在△ABC外时，先在图3中作出相应的图形，然后写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系．(不用说明理由) 解：(1)如图2，PD＋PE＋PF＝AB. 证明：∵PE∥AC，PF∥AB，

∴四边形PEAF是平行四边形．

∴PE＝AF. ∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C. ∵PF∥AB，∴∠B＝∠FDC. ∴∠C＝∠FDC.∴FD＝FC. ∴PD＋PE＋PF＝FD＋PE＝FC＋AF＝AC＝AB. (2)如图3，PE＋PF－PD＝AB.

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