6.1 从实际问题到方程优秀课堂实录

一元二次方程（第一课时）

【教学目标】

1、了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；• 2、会应用一元二次方程概念解决一些简单题目。

【教学重点】

1、掌握一元二次方程的有关概念及其一般形式；

2、利用相关概念解决问题。

【教学难点】 1、通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型；

2、由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．

【教学过程】

一、复习引入

问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，•两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”

大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，•那么门的高和宽各是多少？

如果假设门的高为x•尺，•那么，•这个门的宽为_______•尺，•根据题意，•得________．

整理、化简，得：__________．

问题（2）如图，如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．

如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．

整理得：_________．

问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？

如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．

整理，得：________．

老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．

二、探索新知

问题提出:（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？

（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？

（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？

老师点评：（1）都只含一个未知数x；

（2）它们的最高次数都是2次的；

（3）•都有等号，是方程．

因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

三. 复习巩固

练 1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

练 2．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

四、应用拓展

例1．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

例2.方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？

五、归纳小结

本节课要掌握：

（1）一元二次方程的概念；

（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）•和二次项、二次项系数一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．

六、布置作业

一、选择题

1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（

）．

①3x2+7=0

②ax2+bx+c=0

③（x-2）（x+5）=x2-1

④3x2- =0

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（

）．

A．2，3，-6

B．2，-3，18

C．2，-3，6

D．2，3，6

3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（

）．

A．p=1

B．p>0

C．p≠0

D．p为任意实数

二、填空题

1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为____，一次项系数为____，常数项为____．

2．一元二次方程的一般形式是__________．

3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是_____．

三、综合应用

1．a满足什么条件，关于x的方程a（x2+x）= （x+1）是一元二次方程？x-

2．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？

、将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．