等边三角形的判定第一课时导学案

《等边三角形的判定》教学设计

一、概述

1．教材选自北师大版数学八年级下册第一章第一节第4课时内容； 2．本节课所需课时为一课时，45分钟；

3.

等边三角形不仅是对前面所学知识的综合应用，也是今后证明角相等、线段相等及两直线垂直的重要依据.因此本节内容在教材中，处于非常重要的地位和承前启后的作用. 二、教学目标分析

理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角知识与技能

的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。

①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，过程与方法

建立初步的符号感，发展抽象思维；

②经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力. ①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲；

情感态度价值观

②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

三、教学重、难点

①等边三角形判定定理的发现与证明；

教学重点

②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明. 教学难点

含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明. 四、学生特征分析

1．学生在之前已经学习了等腰三角形、等边三角形的相关概念和性质，并具备了证明两个三角形全等的能力，能够运用它们证明等边三角形的判定.刚进入初二下学期的学生观察、操作、猜想能力较强，动手拼出等边三角形后，学生对它们有一定的感性理解．但演绎推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱, 所以教师需引导学生思维的广阔性、敏捷性、结密性、灵活性. 2．八年级学生的抽象思维趋于成熟，形象直观思维能力较强，具有一定的独立思考、实践操作、合作交流、归纳概括等能力，能进行简单的推理论证，能积极参与讨论；但自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导. 3．学生的求知欲比较强，表现欲强，对探究几何图形的好奇心也比较强，在本节课的教学中，可让学生从已有的知识出发，参与新知识的产生过程，在实践操作、自主探索、思考讨论、合作交流等数学活动中，理解和掌握数学知识和技能，形成数学思想和方法.

五、教学方法分析

1.教法：演示、探究、启发

即从等边三角形的定义入手，引发学生通过多种途径对等边三角形的判定进行探究与证明，从角的角度出发，也考虑从边的角度出发，通过一个个问题的解决，激发学生探索问题的欲望，在分析问题和解决问题的过程中获得更多的体验和经验. 2.学法：探究、讨论、合作

即通过合作、探讨、拼图等实际操作，探索和发现等边三角形的判定以及含30°角的直角三角形的性质定理，在小组学习中通过相互交流的方式学会探索问题和解决问题的基本方法与策略. 六、教学资源与工具设计

1．本节课采用多媒体课件；

2．北师大版义务教育课程标准试验教材《数学》八年级下册；

3．教具和学具：投影仪、白板、白板笔、纸板、三角板、等边三角形等. 七、教学过程设计(45分钟)

（一）复习巩固（2分钟）

借助名片进行自我介绍，由此引出等边三角形的名片（不完整），邀请学生

为等边三角形代言，从而带领大家复习等边三角形的性质，并引出本节课的课题：等边三角形的判定. 【设计意图】

从自我介绍出发，激发学生参与课堂教学的热情，使学生进入情境，引入新课．

（二）探究活动（一）（重点，14分钟）

带领学生回顾等边三角形的定义，确定该定义可以作为等边三角形的判定，并了解当它作为判定时，几何语言该如何书写.紧接着进一步提问：除了它的定义能作为判定以外，是否还有其他的判定方法呢？

幻灯片展示：

1.一个三角形满足什么条件时是等边三角形？

2.一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？

学生以小组为单位，在充分讨论的基础上得出猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 教师：我们的猜想到底对不对呢？如果是对的，怎么去说明？

学生：通过证明. 幻灯片展示：

求证：三个角都相等的三角形是等边三角形. 已知：△ABC 中，∠A =∠B =∠C．

求证：△ABC 是等边三角形．

学生很容易想到利用“等角对等边”可以很快证明△ABC 中AB =BC =CA，从而得到△ABC

是等边三角形，在此，要让学生明确是利用等边三角形的定义使该命题得证的. 得到定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.以及它的几何语言：在△ABC中，∵∠A =∠B =∠C，

∴△ABC是等边三角形. 幻灯片展示：

求证：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 该命题里60°的角并没有明确是哪一个角，所以证明此命题时，已知和求证由学生思考和回答，便很自然地引出了这个问题：60°的角到底是哪一个角呢？答案是既可以是顶角，也可以是底角，所以已知和求证有以下两种情况：

已知：如图，在△ABC中

，AB =AC ，∠A =60°. 求证：△ABC 是等边三角形． 已知：如图，在△ABC中

，AB =AC ，∠B=60°. 求证：△ABC 是等边三角形． 这两种情况需要分别证明。证明过程由学生回答，可以用定义，也可以用刚才得到的定理。

得到定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.以及它的几何语言：∵AB =AC，∠A =60 °(或∠B=60°或∠C =60°)，∴△ABC 是等边三角形.

教师对以上各方法进行归纳：

等边三角形的判定方法有以下三种：

定义：三条边都相等的三角形是等边三角形. 定理：三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 【设计意图】

通过对两个命题的逻辑证明，让学生明白数学上任何猜想都是需要经过证明才能说明其正确性，并让学生学会用数学符号语言有条理地表达思维过程，发展推理能力，培养学生自主探究的学习方法.

（三）快问快答（4分钟）

1.已知△ABC

的三个外角都相等，且

AB=3cm，则△ABC的周长为（

）.

A.6cm

B.8cm

C.9cm

D.10cm 2.已知△ABC的三边长

a、b、c 满足∣a -b∣+( b -c) 2 = 0，则该三角形是_______三角形. 3.如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点，

∠AON = 60°，

当OP =_____时，

△AOP为等边三角形.

答案：1。C

；2。等边；3。A

【设计意图】

巩固新知，观察学生对本节课重点知识的掌握情况.练习题目多样，从不同的角度帮助学生加深对判定方法的理解.以严谨求实的态度思考数学,培养学生的数学推理能力、实践能力与创新精神，从而提高数学素养. （四）探究活动（二）（重难点，8分钟）

幻灯片展示：

做一做：用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由.

学生再次以小组为单位，进行拼图、讨论，得出结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

同前面的猜想一样，这个结论同样需要进行证明。

幻灯片展示：

求证：在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°,那么

它所对的直角边等于斜边的一半.

已知：如图

，

△ABC是直角三角形，∠C

＝90°，

∠A＝

30°. 1求证：

BC＝

AB. 2

该命题的证明相比前面两个命题的证明更难，但是从刚才的拼图活动中是可以得到启发的：需要通过作辅助线构造出一个等边三角形，而构造等边三角形的方法有多种，课堂上仅以其中一种为例进行精讲：

证明：如图，延长

BC 至点

D，使

CD＝

BC，连接

AD. ∵∠ACB

＝

90°，∠BAC＝30°. ∴∠ACD＝90°，∠B＝

60°. 又∵

AC

＝AC，

∴△ABC≌△ADC ( SAS ). ∴AB＝AD(全等三角形的对应边相等）. ∴△ABD是等边三角形（有一

个角等于60°的等腰三角形

是等边三角形）.

11∴BC＝2

BD＝2

AB.

得到定理：在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 以及它的几何语言：

1在△ABC 中，

∵∠C =90 °，∠A =30 °，∴

BC = 2

AB .

【设计意图】

让学生通过动手实践引发学生思考，从而得出结论，激发了学生学习积极性和主动性。

（五）典例精析

幻灯片展示：

求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半. 已知：如图，在

△

ABC 中，AB = AC，

∠B = 15°，CD是腰AB上的高. 1求证：CD =

AB.

2

分析问题：

教师：从题目的已知条件出发，我们能很快得到什么？

学生：∠ACB = 15°，∠DAC = 30°。

教师：题目要求证的是CD与AB这两条线段之间的关系，很显然，这两条线段并非同一个三角形里的两条边，我们能否把这两条线段当中的一条用与之相等的替换掉呢？

学生：可以把AB用AC替换掉。

1教师：这样一来，咱们只需要证明CD =2

AC了，能证到吗？

学生：能，∠D = 90°，∠DAC = 30°，可以用刚才得到的定理去证明。

证明过程可让一名学生板书，其他学生练习本上书写。

【设计意图】

发展学生合情推理能力和演绎推理能力，活学活用，培养学生正确应用所学的知识的应用能力，增强应用意识，参与意识，就本例题而言，必须使学生学会含30°角的直角

三角形的性质的应用，突出本节课的重点. （六）开心刮刮乐

学生可从四张奖票中，任选一张刮开，其中三张可获得答题机会，答对即中奖，一张没有答题机会。题目分别如下：

1．如图，△ABC中，∠C =90°，AC =3，∠B =30°，点

P 是BC边上的动点，则

AP 的长不可能是(

). A．3.5

B.

4.2

C．5.8

D.

7 2．如图，在△ABC中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD是

△ABC 的高，且BD =1，则AD =_______.

3．如图，已知在△ABC 中，AB =AC，∠C =30°,AB⊥AD，则下列关系式正确的为(

).

A．BD

= CD

B．BD = 2CD

C．BD = 3CD

D．BD = 4CD

答案分别为：1. D；

2. 3；

3. B. 【设计意图】

本环节的设置是为了让学生熟练掌握含30°角的直角三角形的性质，并能灵活运用。用刮奖票的形式呈现，增强了课堂的趣味性，让学生能以更高的热情投入到课堂中来。

（七）角色互换

幻灯片展示：

如图，点P、M、N分别在等边三角形

ABC 的

各边上，且MP

⊥

AB ，NM

⊥

BC

，PN ⊥

AC. （1）求证：△PMN是等边三角形.

（2）若AB＝9，求CM的长度．

【设计意图】

该题将本节课两大块知识全部融合，是本节课定理的综合运用，难度较大。为了突破难点，设计的两个问题层层推进，让学生有、逐步实现由实验几何到论证几何的过渡，调动学生思考，使学生容易理解，学会应用自己已有的知识来解决问题，环环相扣，将感性的知识转化为理性，突破难点，强化重点，学生学习积极性高涨，氛围也十分浓厚. （八）课堂小结

1.这节课我们研究了哪些问题？

2.我们在研究这些问题时，经历了怎样的过程？

3.通过这个研究过程，你有什么感受和体会？

【设计意图】

让学生对课堂学习进行小结，注意总结具体的知识、结论，以及解决问题的方法和蕴含其中的思想，如分类讨论思想、逆向思维等。

（九）课后作业

1.必做：完成教材P12-13习题、《作业本》上相应的练习；

2.选做：探索定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”的逆命题是否成立，如果成立，请给予证明.

【设计意图】

必做题的设计是为了让所有学生将本节课所学知识加以巩固，而选做题是提供给学有余力的学生，发展逆向思维以及逻辑推理能力。分层作业，让不同层次的学生各有所得。