⊙ 生活中的“一次模型”主要内容及教案内容

综合与实践

生活中的“一次模型”

一、教学目标

1.经历用数学的眼光发现现实生活中的数学问题，尝试提出问题，并加以解决的全过程，体会模型思想，发展应用意识，提高实践能力，了解数学的价值。

2.综合运用一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的相关知识解决问题，体会三者之间的内在联系。

3.会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告，并能进行交流，进一步积累数学活动经验。

二、学情分析

考虑到学生已进入八年级下学期的学习，他们在之前已经经历了一定的综合与实践的活动，积累了不少综合与实践活动的经验，因此本综合与实践以一种新的形式呈现。具体来说，教科书给出的任务比较宽泛，没有给定的背景，没有具体的安排，只是给出了一个原始的问题，规定了一个大的方向：要求将一元一次方程、一元一次不等式和一次函数集中融入一个问题情境，至于具体研究哪些问题、如何研究等完全由学生自主选择。这样设计，可以保证学生学习的自主性、选择性和学习结论的开放性，给学生提供了发现问题、提出问题的机会，有助于发展学生的应用意识和创新意识。

三、重点难点

教学重点：研究报告的交流与评析

教学难点：研究对象的确定与问题解决方案的提出

四、教学过程

第二学时

教学活动

君子动口不

活动1【导入】知识回顾，建立联系

动手哦！

课前检测

1.关于x的一元一次方程kx+b=0的解是 . 2.关于x的一元一次不等式kx+b>0的解集是 . 3.关于x的一元一次不等式

-4

4.关于x的一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2的解集是 . 5.关于x的一元一次不等式k1x+b1

设计意图：在问题的求解过程中，教师引导学生切身体会并探究三者之间的内在联系，为后续建立数学模型并求解实际问题奠定基

础。

老师：熟悉了“三个一次”的相关知识以后，下面请同学们欣赏一组图片！

引出课题：其实在生活中，除了这些问题，还有很多的问题中蕴藏着大量的一次模型，今天就请同学们跟我一起来研究生活中的“一次模型”。

活动2小组展示，交流评价

1.分小组在班上展示研究报告，并对每个报告进行评价提出修改意见；

2.其他小组认真研究展示组的研究报告，谈感受并提出意见。

活动：根据时间随机选择两到三组进行展示，师生共同点评。

设计意图：学生通过经历这样的活动，体会数学学习不仅仅是做习题，而且要学会用数学的视角分析实际问题，揭示并理解现实问题。通过听取其他小组的研究报告，取长补短，找到自己的问题，并给他人提出意见。

评价建议：

1.本课题评价的重心在于让学生真实体验数学问题研究和解决的全过程，所以尽量让学生来展示，来评价。

2.关注学生自主参与，培养合作能力和反思意识。

3.关注学生模型思想的建立，即能从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。

4.关注学生用数学的视角分析和理解现实问题，对于问题研究的深度，可以让不同层次的学生选择不同的问题情境，也可以不同程度的融合数学知识，让不同的学生得到不同的发展。

5.关注学生对于一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的综合运用能力，研究成果的逻辑性、实用性以及报告的精炼、准确程度。

附：学生调查研究报告

活动3【讲授】发现问题，探求新知

活动3共享优秀作品，加深理解

老师：欣赏了本班同学的优秀作品后，大家有没有兴趣欣赏外班同学的研究报告呢？老师今天特意为大家带来了由江苏省南京市第二十九中学的初二某个班的同学所做的研究报告。

学生小组研究报告案例

生活中的“一次模型”

提供者：江苏省南京市第二十九中学

研究主题：家庭用电成本问题

小组成员：严昕、肖晴、苏玮奕、冯艳蕾、戈绍男、路皓

引言

今天，我们小组正在路皓家讨论数学活动。突然，一阵敲门声打断了我们的讨论，原来是小区的物业管理人员来查电表。一位同学建议：为什么不以小区内的用电方案作为我们的主题活动呢？

收集数据

南京市现有两种用电收费方法：

分时电表

峰时（8：00~21:00）

电价0.55元/kW.h

谷时（21:00到次日8:00）

电价0.35元/kW.h 普通电表

电价0.52元/kW.h

问题：家庭使用分时电表是不是一定比普通电表合算呢？

解决问题

设某家庭某月用电总量为akW.h（a为常数），其中谷时用电xkW.h，则峰时用电（a-x）kW.h，分时计价时总价为y1元，普通计价时总价为y2元。

函数关系式为y1=0.35x+0.55（a-x），y2=0.52a 1.当0.35x+0.55（a-x）=0.52a时，解得x=0.15a此时，y1=y2

说明：如果一个家庭把每月的用电量的15％放在谷时使用，那么两种方法费用相等。

2.当0.35x+0.55（a-x）>0.52a时，解不等式，得x<0.15a此时，y1>y2

说明：如果一个家庭每月在谷时的用电量小于每月总用电量的15％，那么使用普通电表合算。

3.当0.35x+0.55（a-x）<0.52a时，解不等式，得x>0.15a此时，y1

说明：如果一个家庭每月在谷时的用电量大于每月总用电量的15％，那么使用分时电表合算。

路皓家最近两个月用电的数据：

谷时用电量/kW.h 181 峰时用电量/kW.h 239 合计费用/元

0.35×181+0.55×239=194.80

根据上表，我们进行了计算：

x=181，a=181+239=420 x÷a=181÷420≈0.43 0.43 >0.15 所以用分时电表是合算的。

当然，仅仅根据一个月的数据来判断是远远不够的，需收集多个月的数据来判断。这里由于时间较短，无法收集齐全。

深入探究

根据分时电表的特点，除了日常必须按时进行的一些用电外，如果能将可调用电时间控制在21:00~8:00（谷时），使进行了归纳和分析：

部分家庭每月电费明细表

电器

名称

洗衣机

电灯

电水壶

电饭煲

电冰箱

电视机

门灯

合计

功率/w 时间/(时/天）

294 40 1800 500 140 80 3 2857 1.5 5.0 0.5 0.5 10.0 6.0 24.0 47.5 用电量/kW.h 13.23 6.00 27.00 7.50 42.00 14.40 2.16 112.29 谷时电费/元

4.63 2.10 9.45 2.63 14.70 5.04 0.76 39.21 谷时电费/元

7.28 3.30 14.85 4.13 23.10 7.92 1.19 61.77 差额/元

时间是否可调

2.65 1.20 5.40 1.50 8.40 2.88 0.43 22.46 是

否

是

否

否

否

否

x的值尽可能大，就可以最大限度地节省电费。对此，我们a注:1kW.h=1000W×1h 月用电总量(kW.h)=功率×时间×30÷1000

根据上表,我们小组成员们认为,可以将时间可调、功率较大的电器（洗衣机、电水壶

等）放在谷时工作，这样就可以充分发挥分时电表的优势，使x的值尽可能大，就可以最a大限度地节省电费。如果家家户户都能这样做的话，必定可以节

省一笔不小的开支。

设计意图：让学生欣赏外班同学的研究报告，冲击感会更强，从而深刻体会如何选择问题情境、获得数据、建立数学模型、求解、解释与应用的过程。