习题1.1课堂实录

第一课时

1.3.1

算法案例---辗转相除法与更相减损术

教学要求：理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析；

基本能根据算法语句与程序框图的知识设计出辗转相除法与更相减损术完整的程序框图并写出它们的算法程序.

教学重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法.

教学难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.

教学过程：

一、复习准备：

1. 回顾算法的三种表述：自然语言、程序框图（三种逻辑结构）、程序语言（五种基本语句）.

2. 提问：①小学学过的求两个数最大公约数的方法？（先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.）口算出36和64的最大公约数. ②除了用这种方法外还有没有其它方法？6436128，36和28的最大公约数就是64和36的最大公约数，反复进行这个步骤，直至842，得出4即是36和64的最大公约数. 二、讲授新课：

1. 教学辗转相除法：

例1：求两个正数1424和801的最大公约数.

分析：可以利用除法将大数化小，然后逐步找出两数的最大公约数. （适用于两数较大时）

①以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法，也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的. 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：

（1）用较大的数m除以较小的数n得到一个商S0和一个余数R0；（2）若R0＝0，则n为m，n的最大公约数；若R0≠0，则用除数n除以余数R0得到一个商S1和一个余数R1；（3）若R1＝0，则R1为m，n的最大公约数；若R1≠0，则用除数R0除以余数R1得到一个商S2和一个余数R2；……依次计算直至Rn＝0，此时所得到的Rn1即为所求的最大公约数.

②由上述步骤可以看出，辗转相除法中的除法是一个反复执行的步骤，且执行次数由余数是否等于0来决定，所以我们可以把它看成一个循环体，它的程序框图如右图：（师生共析，写出辗转相除法完整的程序框图和程序语言）

练习：求两个正数8251和2146的最大公约数. （乘法格式、除法格式）

2. 教学更相减损术：

我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之. 翻译为：（1）任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数. 若是，用2约简；若不是，执行第二步.（2）以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数. 继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数.

例2：用更相减损术求91和49的最大公约数.

分析：更相减损术是利用减法将大数化小，直到所得数相等时，这个数（等数）就是所求的最大公约数. （反思：辗转相除法与更相减损术是否存在相通的地方）

练习：用更相减损术求72和168的最大公约数.

3. 小结：辗转相除法与更相减损术及比较①都是求最大公约数的方法，辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少；②结果上，辗转相除法体现结果是以相除余数为0得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.

三、巩固练习：1、练习：教材P35第1题

2、作业：教材P38第1题

1.3

算法案例

整体设计

教学分析

在学生学习了算法的初步知识，理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后，再结合典型算法案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力. 三维目标

1．理解算法案例的算法步骤和程序框图. 2．引导学生得出自己设计的算法程序. 3. 体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力. 重点难点

教学重点：引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序. 教学难点：体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力. 第1课时

案例1

辗转相除法与更相减损术

导入新课

思路1（情境导入）

大家喜欢打乒乓球吧，由于东、西方文化及身体条件的不同，西方人喜欢横握拍打球，东方人喜欢直握拍打球，对于同一个问题，东、西方人处理问题方式是有所不同的.在小学，我们学过求两个正整数的最大公约数的方法：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. 当两个数公有的质因数较大时（如8 251与6 105），使用上述方法求最大公约数就比较困难.下面我们介绍两种不同的算法——辗转相除法与更相减损术,由此可以体会东、西方文化的差异.

思路2（直接导入）

前面我们学习了算法步骤、程序框图和算法语句.今天我们将通过辗转相除法与更相减损术来进一步体会算法的思想. 推进新课

新知探究

提出问题

（1）怎样用短除法求最大公约数？

（2）怎样用穷举法（也叫枚举法）求最大公约数？

（3）怎样用辗转相除法求最大公约数？

（4）怎样用更相减损术求最大公约数？

讨论结果：

（1）短除法

求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. （2）穷举法（也叫枚举法）

穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数. （3）辗转相除法

辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法步骤可以描述如下：

第一步，给定两个正整数m，n.

第二步，求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中.

第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r.

第四步，判断余数r是否为0.若余数为0，则输出结果；否则转向第二步继续循环执行.

如此循环，直到得到结果为止. 这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法. （4）更相减损术

我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”翻译为现代语言如下：

第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，执行第二步.

第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数. 应用示例：例1

用辗转相除法求8 251与6 105的最大公约数,写出算法分析，画出程序框图，写出算法程序. 解：用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数：8 251=6 105×1+2 146. 由此可得，6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数，反过来，8 251与6 105的公约数也是6 105与2 146的公约数，所以它们的最大公约数相等. 对6 105与2 146重复上述步骤：6 105=2 146×2+1 813. 同理，2 146与1 813的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数.继续重复上述步骤：

2 146=1 813×1+333，

1 813=333×5+148，

333=148×2+37，

148=37×4.

最后的除数37是148和37的最大公约数，也就是8 251与6 105的最大公约数.

这就是辗转相除法.由除法的性质可以知道，对于任意两个正整数，上述除法步骤总可以在有限步之后完成，从而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数. 算法分析：从上面的例子可以看出，辗转相除法中包含重复操作的步骤，因此可以用循环结构来构造算法. 算法步骤如下：

第一步，给定两个正整数m，n. 第二步，计算m除以n所得的余数为r. 第三步，m=n，n=r. 第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步. 程序框图如下图：

程序：

INPUT

m,n DO

r=m MOD n

m=n

n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 点评：从教学实践看，有些学生不能理解算法中的转化过程，例如：求8 251与6 105的最大公约数,为什么可以转化为求6 105与2 146的公约数.因为8 251=6 105×1+2 146，

可以化为8 251-6 105×1=2 164，所以公约数能够整除等式两边的数，即6 105与2 146的公约数也是8 251与6 105的公约数. 变式训练

你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？试画出程序框图和程序.

解：当型循环结构的程序框图如下图：

程序：

INPUT

m，n r=1 WHILE

r＞0

r=m MOD n

m=n

n=r WEND PRINT m END 例2

用更相减损术求98与63的最大公约数.

解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，如下图所示. 98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7 所以，98和63的最大公约数等于7. 点评：更相减损术与辗转相除法的比较：尽管两种算法分别来源于东、西方古代数学名著，但是二者的算理却是相似的，有异曲同工之妙．主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除；而更相减损术进行的是减法运算，即辗转相减，但是实质都是一个不断的递归过程．

变式训练：

用辗转相除法或者更相减损术求三个数324,243,135的最大公约数. 解：324=243×1＋81，

243=81×3＋0，

则324与243的最大公约数为81. 又135=81×1＋54，81=54×1＋27，

54=27×2＋0，

则

81 与

135的最大公约数为27. 所以,三个数324、243、135的最大公约数为27. 另法：324－243=81,243－81=162,162－81=81，则324与243的最大公约数为81. 135－81=54,81－54=27,54－27=27，则81与135的最大公约数为27. 所以，三个数324、243.135的最大公约数为27. 例3

（1）用辗转相除法求123和48的最大公约数. （2）用更相减损术求80和36的最大公约数.

解：（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下：

123＝2×48＋27，

48＝1×27＋21，

27＝1×21＋6，

21＝3×6＋3，

6＝2×3+0，

最后6能被3整除，得123和48的最大公约数为3. （2）我们将80作为大数，36作为小数，因为80和36都是偶数，要除公因数2. 80÷2=40，36÷2=18.

40和18都是偶数，要除公因数2. 40÷2=20，18÷2=9. 下面来求20与9的最大公约数，

20－9=11，

11－9=2，

9－2=7，

7－2=5，

5－2=3，

3－2=1，

2－1=1，

可得80和36的最大公约数为22×1=4. 点评：对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等. 变式训练：分别用辗转相除法和更相减损术求1 734，816的最大公约数．

解：辗转相除法：

1 734=816×2+102，816=102×8（余0），

∴1 734与816的最大公约数是102．

更相减损术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867，408，再求867与408的最大公约数．

867-408=459，

459-408=51，

408-51=357，

357-51=306，

306-51=255，

255-51=204，

204-51=153，

153-51=102，

102-51=51. ∴1 734与816的最大公约数是51×2=102．

利用更相减损术可另解：

1 734－816＝918，

918－816＝102，

816－102＝714，

714－102＝612，

612－102＝510，

510－102＝408，

408－102＝306，

306－102＝204，

204－102＝102. ∴1 734与816的最大公约数是102．

知能训练：

求319，377，116的最大公约数．

解：377=319×1+58，

319=58×5+29，

58=29×2.

∴377与319的最大公约数为29，再求29与116的最大公约数．

116=29×4. ∴29与116的最大公约数为29. ∴377，319，116的最大公约数为29. 拓展提升

试写出利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的程序．

解：更相减损术程序：

INPUT “m，n=”；m，n WHILE m<>n IF m>n THEN ｍ＝m-n ELSE m=n-m END IF WEND PRINT m END 课堂小结

（1）用辗转相除法求最大公约数.（2）用更相减损术求最大公约数. 思想方法：递归思想. 作业

分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数. 分析：本题主要考查辗转相除法和更相减损术及其应用．使用辗转相除法可依据m=nq+r，反复执行，直到r=0为止；用更相减损术就是根据m-n=r，反复执行，直到n=r为止．

解：辗转相除法：

319=261×1+58, 261=58×4+29, 58=29×2. ∴319与261的最大公约数是29．

更相减损术：

319-261=58, 261-58=203, 203-58=145, 145-58=87, 87-58=29, 58-29=29, ∴319与261的最大公约数是29．