3.3.4 两条平行直线间的距离教学设计第二课时

点到直线的距离、两条平行线间的距离

【知识梳理】

点到直线的距离与两条平行线间的距离

定义

点到直线的距离

点到直线的垂线段的长度

点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0公式

的距离

|Ax0＋By0＋C|d＝

A2＋B2两条平行直线间的距离

夹在两条平行直线间公垂线段的长度

两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离

d＝|C1－C2|A2＋B2

【常考题型】

题型一、点到直线的距离

【例1】

求点P(3，－2)到下列直线的距离：

31(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4. 4431[解]

(1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝44|3×3－4×－2＋1|＝

32＋－4218. 5(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1. 【类题通法】

应用点到直线的距离公式应注意的三个问题

(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．

(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．

(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．

【对点训练】

1．已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(

) A.2

C.2－1

B．2－2 D.2＋1

解析：选C

由点到直线的距离公式知

|a－2＋3||a＋1|d＝＝＝1，

22得a＝－1±2.又∵a＞0，∴a＝2－1. 2．点P(2,4)到直线l：3x＋4y－7＝0的距离是________．

|3×2＋4×4－7|15解析：点P到直线l的距离d＝＝＝3. 532＋42答案：3 题型二、两平行线间的距离

【例2】

求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．

[解]

法一：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0. 1在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，)，

21|－12×＋C|2|C－6|＝，

1352＋－122则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为|C－6|由题意，得＝2，

13所以C＝32，或C＝－20. 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，

由两平行直线间的距离公式得2＝解得C＝32，或C＝－20. 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0. 【类题通法】

求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝时，d＝|C1－C2|A2＋B2|b1－b2|k2＋1；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2，

52＋－122|C－6|.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．

【对点训练】

3．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．

解析：因为两直线平行，所以m＝2.

|6×0＋2×3－1|法一：在直线3x＋y－3＝0上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，得d＝62＋22＝10. 41法二：将6x＋2y－1＝0化为3x＋y－＝0，由两条平行线间的距离公式得d＝210. 4答案：10

4－3＋1232＋12＝题型三、距离的综合应用

【例3】

求经过点P(1,2)，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线l的方程．

[解]

法一：当直线斜率不存在时，即x＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)．

|2k－3－k＋2||5－k＋2|由条件得＝，解得k＝4，

k2＋1k2＋1故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0. 法二：由平面几何知识知l∥AB或l过线段AB的中点．

∵直线AB的斜率kAB＝4，

若l∥AB，则l的方程为4x－y－2＝0. 若l过AB的中点(1，－1)，则直线方程为x＝1，

故所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0. 【类题通法】

解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．

【对点训练】

4．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．

x－3y－4＝0，解：由解得2y＝－4x＋3y－6＝0，

x＝2，3

22，－. ，即直线l过点B3①当l与x轴垂直时，方程为x＝2，

点A(－3,1)到l的距离d＝|－3－2|＝5，满足题意．

②当l与x轴不垂直时，设斜率为k，

2则l的方程为y＋＝k(x－2)，

32即kx－y－2k－＝0，

3由点A到l的距离为5，得－3k－1－2k－23k2＋－124＝5，解得k＝，

3482所以l的方程为x－y－－＝0，

333即4x－3y－10＝0. 综上，所求直线方程为x＝2或4x－3y－10＝0. 【练习反馈】

1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(

) A．1

C．2

|－5|解析：选D

d＝＝5. 52．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(

) A．1

C.3

B.2 D．2 B.3 D.5 |1－2－1|解析：选B

在l1上取一点(1，－2)，则点到直线l2的距离为2＝2. 1＋123．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．

51解析：直线8x－6y＋5＝0化简为4x－3y＋＝0，则由两平行线间的距离公式得22＝. 24＋321答案：

24．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．

|5×2－12k＋6|解析：∵＝4，∴|16－12k|＝52，

52＋12217∴k＝－3，或k＝. 35－52

17答案：－3或

35．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S. 解：由直线方程的两点式得直线BC的方程为

x＋3y＝，

2－01＋3即x－2y＋3＝0.由两点间距离公式得

|BC|＝－3－12＋0－22＝25，

点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，

|－1－2×3＋3|45d＝＝，

512＋－221145所以S＝|BC|·d＝×25×＝4，

225即△ABC的面积为4.