探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积优质课教案整理

教

学

设

计

编写人：蔡弘毅

教学

祖暅原理与球体的体积

课题

课程

探究与发现

类型

课时

一课时

祖暅原理是高中新课程标准实验教科书人教A版必修2第一章第二节的探究与发现内容，教材

主要通过祖暅原理提供一种可行的求球体体积计算公式的方法。设计这一节内容，对提升分析

学生的思维能力和人文素养有重要的意义。

学情

所带班级为理科平行班，学生大多思维活跃，具有良好的阅读能力，对历史人物抱有比较分析

大的兴趣。但探究意识不强，解题能力有待提高。

教学

祖暅原理的由来

重点

教学

球体体积公式的推导

难点

（1）利用祖暅原理推导球体的体积公式，授之以鱼，也要授之以渔；

（2）通过聆听古代数学家对球体体积的研究历程，了解中华民族的人文积淀和历史底蕴，提升学生的民族自豪感；

教学

（3）在球体体积计算公式不断地完善与纠正过程中，让学生意识到理性思维和批判精神的目标

重要性；

（4）能够将祖暅原理迁移到之前学的柱体和椎体的体积公式上，培养学生乐善好学，勤于反思的学习习惯。

教学

讲授法、演示法和讨论法相结合，教师在课堂上起引导作用。学生讨论与自助探究相结合。

方法

学法

合作学习法，以小组为单位。培养学生的协同合作能力和科研精神。

渗透

教学

课件演示、教师讲解、学生讨论相结合。

手段

教学过程设计

教学步骤

教师活动

学生活动

设计意图

课题引入

复习初中阶段学习的几种常见几何体回忆柱体和台体的体积公式复习前面所学内容，同时的体积公式，进而提问球体的体积公应该怎么计算；小组讨论，提出本节课需要研究的问式。

球体的体积应该怎么得到？

题，激发学生思考的热情。

介绍《九章算术》与其中开立圆术的九章算术中内容。

了解问题的起源，鼓励学16V即为d3，

的开立圆术

“置积尺数，以十六乘之，九而一，所生辩证地看待问题。

9得开立方除之，即丸径。”

通过这个公式，我们可以得到球体的体积公式为V理解开立圆术的内容，得出最初的球体体积公式。

用公式表示，

93d

16介绍刘徽的工作：“以周三径一为圆率，则圆幂伤之；令圆囷为方率，则丸积伤多。互相通补，是以九与十六之率，偶与实相近，而丸尤伤多而。”

刘徽的工作

向学生展示牟合方盖的构造，引导学生探究牟合方盖的几何特征。通过截面原理论证牟合方盖与球体体积之比为4：. 讲述祖冲之与祖暅父子的发现：“幂势既同，则积不容异”。分析祖暅原理的含义。演示祖暅求解出球体体积公式的过程。

祖暅把正方体切分成八个棱长为r的小正方体，每个小正方体中含有八分之一个牟合方盖，只要能求出小牟合方盖的体积，就能得到球体的体积。

根据找到的资料，介绍刘徽的生平。观察电子白板展示的牟合方盖模型，探讨牟合方盖的几何特征。

了解数学家刘徽的研究历程，陶冶学生的人文情操。从截面原理中感受祖暅原理的雏形。

祖暅的工作

分析祖暅解决问题的过程，证明其方法的正确性。根据祖暅原理，发散思维，寻找培养学生分析问题和解决多种方法求解球体体积。

问题的能力。

因为，方锥体积=r；

小牟合方盖体积=r31331323rr；

33

23163rr；

3316343rr.

球体体积343牟合方盖体积8

总结

总结由《九章算术》到祖暅500年间

球体体积计算公式的发展历程。

激励学生投身数学研究，担当时代的先锋。

板书设计

由于本节内容主要是数学探究历程，主要内容是通过电子白板演示给学生的。板书内容主要是课堂主题以及后面球体体积公式的推导过程。

教学反思

本节课为课本上的探究与发现部分，旨在拓展学生的眼界。培养学生课外阅读的兴趣。在本节课的教学中，优点在于能够将祖暅原理的来龙去脉通过讲故事的形式系统地阐述出来，让学生在获取比较生僻的知识时，不会感到枯燥。特别地将重点放在球体体积的推导，使得学生不仅仅是学到了原理，更能将原理运用到实际的问题中，有助于培养学生的解题能力和思维习惯。缺点在于本节课的祖暅原理并不是很好理

解，最好应该给学生提供一些实物模型，让学生从直观的认识中感受祖暅原理，便于学生更好地理解祖暅原理的内核。另外作为一节课外探究课，因为受时间和器材的限制，学生自主探究的环节太少，应当适度增加师生之间有机的互动。