习题2.2教学设计内容推荐

直线与平面垂直的判定与性质

一、考纲要求：

以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.

二、知识回顾

1．直线和平面垂直的定义．

直线l与平面内的

直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直．

2．直线与平面垂直判定和性质

定理

定理内容

一条直线与一个平面内判定

的

直线都垂直，则该直线与此平面

．

性质

平面的垂线垂直于

平面

一条直线

符号表示

图示

作用

a、babOlla,lb

用于证明

lla

a用于证明

三、课前自测：

1．如图，已知空间四边形ABCD中，BCAC,ADBD，E是AB的中点。

求证：

AB平面CDE; 证明：

在ABC

中，BCAC

，E是AB的中点

AEBCD

在ABD

中，



又

，

，

变式：AB

与CD

的关系？

四、典例分析：

例1．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：BD平面AAC

1

变式：求证：BDAC1

A1B1C1D1ABCDC是⊙上不同于A，B的任一点，例2．已知PA平面ABC，AB是⊙的直径，求证：PCCB．

小结：通过本过课学习知：可通过

证明线面垂直

可通过

证明线线垂直

五、巩固练习：

1．如图，已知ABD中，AC4，BC3，AB5，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：(1)BC平面SAC

；(2)AD⊥平面SBC

SDACB2.（广东省惠州市2019届高三4月模拟考试文科）如图，在底面是正方形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，BD交AC于点E，F是PA的中点，

G为AC上一动点．（1）求证：BDFG；

3．（2019年广州市普通高中毕业班综合测试二）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，APD90，

且PAPD，ADPB．

(1)求证：ADPB；

高二学业水平测试复习――直线与平面垂直的判定与性质

一、目标与要求：

理解线线垂直、线面垂直判定与性质

，会运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题，

二、知识回顾

1．直线和平面垂直的定义．

直线l与平面内的

任意一条

直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直．

2．直线与平面垂直

定理

定理内容

符号表示

图示

判定

定律

一条直线与一个平面内的

直线都垂直，则该直线与此平面

．

性质

定律

平面的垂线垂直于平面

一条直线

a、babOl

la,lb作用

lla

a

三、课前自测：

1．如图，已知空间四边形ABCD中，

BCAC,ADBD，E是AB的中点。

求证：

AB平面CDE; 证明：

在ABC

中，BCAC，E是AB的中点



CEAB

在ABD

中，ADBD,E是AB的中点



DEA

B又CEDEE，

CE平面CDE，

DE平面CDE

AEBCDAB平面CDE

变式：AB

与CD

的关系？

AB平面CDE CD平面CDE

ABCD

四、典例分析：

例1．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，

求证：BD平面AAC

1证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，ABCD是正方形

BDAC

在正方体ABCDA1B1C1D1中，

AA1平面ABCD

，BD平面ABCD

A1B1C1D1ABCDAA1BD

AA1ACA



BD平面AAC1（2）求证：BDAC1

证明：BD平面AAC

1AC平面AAC11

BDAC1

O的直径，C是

O上不同于A，B的任一点，求证：PCCB．

证明：AB是O的直径

ACB90

BCAC

PA平面ABC，BC平面ABC

PABC

又PAACA

BC平面PAC

又PC平面PAC



PCCB

五、巩固练习：

1．如图，已知ABD中，AC4，BC3，AB5，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：(1)BC平面SAC

；(2)AD⊥平面SBC

证明：

ABD中，AC4，BC3，AB5

AC2BC2AB2 SACB90 BCAC

又SA面ABC BC平面ABC SABC

D又SAACA

BC面SAC

BA(2)由（1）知：BC

平面SAC

，AD平面SAC

BCAD

又SCAD,SCBCC

CAD面SBC

2.（广东省惠州市2019届高三4月模拟考试文科）如图，在底面是正方形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，BD交AC于点E，F是PA的中点，

G为AC上一动点．

（1）求证：BDFG；

（2）若G是AE的中点，PAAB4，

求点P到平面FGD的距离。

【解析】（1）∵PA平面ABCD，BD平面ABCD，∴

例2．已知PA平面ABC，AB是PABD…………1分

∵四边形ABCD是正方形，∴ACBD…………2分

∵PAACA，PA平面APC，AC平面APC……3分

∴BD平面APC…………4分

∵FG平面APC，∴BDFG

…………5分

（2）解法一：连接PG，

由（1）知DE平面APC，所以DE是三棱锥DPFG的高，

1BD22………6分

211又SPFGPFAG222

22114VDPFGSPFGDE222…………7分

333且DEFA2AG26，GDDE2EG210，FDAD2AF220

FD2GD2FG22010632…………8分

cosFDG2FDGD5210207…………9分

sinFDG1cos2FDG5117SFGDFDGDsinFDG201014…………10分

225144记点P到平面FGD的距离为h，由VPFGDVDPFG得h

334214解得h…………11分

714在FGD中，FG点P到平面FGD的距离为

3．（2019年广州市普通高中毕业班综合测试二）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，APD90，

且PAPD，ADPB．

(1)求证：ADPB；

(2)求点A到平面PBC的距离．

．（1）证明：取AD的中点O，连结OP，OB，BD，

因为底面ABCD为菱形，BAD60，

所以ADABBD．…………………………………1分

因为O为AD的中点，所以BOAD．

……………2分

在△PAD中，PAPD，O为AD的中点，

所以POAD．

………………………………………3分

因为BO214…………12分

7POO，所以AD平面POB．………4分

因为PB平面POB，所以ADPB．………………………………………………………………5分

（2）解法1：在Rt△

PAD中，AD2，所以PO1．

因为底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，所以BO3．……………………………6分

在△PBO中，PO1，BO3，PBBC2，

因为PO2BO2PB2，所以POBO．……………………………………………………………7分

【6-7分段另证：在△APD中，APD90，O为AD的中点，所以PO1ADAO．

2

BOBO，在△

BOP和△

BOA中，因为POAO，所以△

BOP△

BOA．PBADAB，所以BOPBOA90．所以OPOB．】

由（1）有POAD，且ADBOO，AD平面ABCD，BO平面ABCD，

所以PO平面ABCD．…………………………………………………………………………………8分

在△PBC中，由（1）证得ADPB，且BC//AD，所以BCPB．

因为PBBC2，所以SPBC2．…………………………………………………………………9分

在△ABC中，ABBC2，ABC120，

所以SABC1ABBCsinABC3．………………………………………………………10分

2131SABCPO．……………………………………………………11分

3设点A到平面PBC的距离为h，

因为VAPBCVPABC，即SPBCh所以hSABCPO313．

SPBC223．…………………………………………………………………12分

2所以点A到平面PBC的距离为