1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）获奖说课稿

基于数学核心素养的教学设计

简单几何体的外接球与内切球基本

信息

名称

问题

执教者

所属教材目录

河北省清河中学 张艳

课时

第1课时

必修二（人教A版）第一章章末专题课

高考要求

分析

近年来在高考中经常出现多面体与球的内切与外接的问题，充分体现了对学生空间想象能力，运算求解能力和转化思想的考查，题目难度为中等或偏难。

学生为理科重点班学生（参差不齐，小组分配为每组两个优等生，两个中等生，一个学科落后生）。

学情

分析

学生具有一定的数学功底, 具备一定的独立思考、合作探究能力,因此本节课采用小组合作交流，师重点点拨，生讲练结合的授课方式,既能充分发挥学生主观能动性,又能充分暴露学生认知过程中的错误,更重要的是能达到预期的教学目的,获取理想的教学效果.

1、熟练掌握正方体、长方体、正四面体的外接球、内接球的球心所在位置，会求半径。

2、掌握正棱柱、锥，直棱柱、锥，及特殊的柱、锥等的内外接球的半径求法。

知识与技能

教学

目标

过程与方法

1.复习回忆正方体，长方体等以及概念性回顾没让同学们激发起对其他几何体的内切球及外接球的半径求法的探究兴趣；

2.及时引导学生对概念及探究的方法结论进行总结归纳; 3.通过小组内互相探究，质疑对问题有更加深刻的认识，从而提升学生的思维，探究新知识的能力。

第一，

数学学科教学活动是数学学科素养培养的主要途径

第二，

数学建模、数学抽象、数学推理等方面

第三，

组织科技创新活动是数学学科素养培养的很好途径。

情感、态度与价值观

第四，

立足实践，注重创造，高度综合，融科学与人文于一体，课程学习与实践中，必然涉及相关的数学核心素养，与其它素养相辅相成，使学生的身心素质得到全面健康的发展。

教学重难点

重点

难点

1，准确找出外接球、内接球的球心所在位置

2，本节课是复习中几何体求外接球，内切球半径的专题课,从而分析变换以及用局部和整体的思想来选择恰当的方法对非常见的几何体是本节课的重点与难点. 教学策略与

设计说明

本节课以学生为主体，利用了我校推广的由“三三五课堂”完善的学生在课堂上“学、思、议、展、练”；教师在课堂上“导、评、讲”的新模式设计了本节课。培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力,借助幻灯片辅助教学,达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的,营造生动活泼的课堂教学氛围. 教学过程

教学环节（注明每个环节预设的时间）

复习导入

5分钟

二、新课导学

学习过程

复习巩固旧知，迅速回顾基础知识.

教师活动

学生活动

设计意图

一、复习导入（迅速完成此题）

1正方体的内切球：

设正方体的棱长为a，求：

（1）内切球半径 ；

（2）外接球半径 ；（3）与棱相切的球半径 。

学习探究（学思）

（8分2.在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PAPBPCa,求这个球的表面积是 .

让学生自己来体会探索新知的乐趣。着重培养学生分析、归纳等能力。

基础题目过关。

二、新知探究：

一、外接球问题

钟）

（一）

由球的定义确定球心 在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离

都相等，那么这个定点就是该简单多面体的 ．

探究1：小组内合作探究

例1、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 .

例2、在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4,AC6,A,AA14,则直三棱柱ABCA1B1C1的外接3球的表面积 .

例3、三棱锥A-BCD中，BA⊥AD，BC⊥CD，且AB=1，AD=3，则此三棱锥外接球的体积为 .

（先独立完成，要有自己的见解，在小组讨论，一定要有你的发言）

活动过程：

学生尽情发言，说出自己的观点，老师作为指路人，进行引导提示，板演完整的解题过程。

小组讨论解决：由例题及性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．

结论1：正方体或长方体的外接球的半径

为 ．

结论2：正棱柱的外接球的球心

是 . ．

典型结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形 的连线的 ．

例题 结论4：正棱锥的外接球的球心在其 上，具体位15置可通过计算找到．

让学生在问题中学会思考，学会学习，培养学生具备“运动变化”和“动中求静”的辩证法的思维和观点。

培养学生及时总结，随时探究、小组合作、互相质疑、探讨的团队学习能力及严谨的思维能力。

分钟

（先独立完成，要有自己的见解，在小组讨论，一定要有你的发言）

结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的 就是其外接球的球心

。

（二）构造正方体或长方体确定球心

在比赛中，探究学习，在竞争中掌握知识。

使课堂讨论达到顶峰，每个孩子都能参与到课堂中来。突出教学重点，让学生建构正确完整的知识体系。教学过程中及时对学生进行形成性的评价，激励了学生学习的主动性。

探究2：小组内合作探究

例4、正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为 .

ABCD例5、在三棱锥中，AB平面BCD,CDBC,AB3，BC4，CD5，则三棱锥ABCD外接球的表面积 .

ABCD例6、在三棱锥中，ABCD2,ADBC3,ACBD4，则三棱锥ABCD外接球的体积 .

例7、若三棱锥SBCD的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA23,AB1,

AC2,BAC60，则球O的表面积为 .

归纳总结：

途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．

途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．

途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．

途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．

当堂检测

8分钟学生自我检测

二、内切球问题

若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的 。

如：棱锥的内切球（分割法）

将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线，将棱锥分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列出关于半径R的方程。若棱锥的体积为V，表面积3V为S，则内切球的半径为R. S例9、正四面体A-BCD的棱长为2，则内切球与外接球的半径比为 .

例10、正四棱锥SABCD，底面边长为2，侧棱长为3，则内切球的半径是 ，

外接球半径是

小组讨论解决：

1、内切球球心到多面体各 的距离均相等，外接球球心到多面体各 的距离均相等。

2、正多面体的内切球和外接球的球心是否重合？

3、正棱锥的内切球和外接球球心是否都在高线上？是否重合？

4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。

5、体积分割是求内切球半径的通用做法。

圆柱（轴截面为正方形）、圆锥的内切球（截面法）

让学生掌握类比，比较的学习方法，掌握等体积法球内切球的半径

让学生自己概括所学的内容，在题目的学习中总结规律，小组内讨论，质疑，探究，分辨更加透彻的理解内外

四、总结提升（2分钟）

例11、圆锥的高为4，底面半径为2，求该圆锥内切球与外接球的半径比 .

三、当堂检测：

练习1、沿矩形ABCD的对角线AC折起，形成空间四边形ABCD，使得二面角B-AC-D为120°，若AB=2，BC=1，则此时四面体ABCD的外接球的体积为 .

练习2、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6cm2、4cm2和3cm2，那么它的外接球的体积是 .

练习3、三棱锥PABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，

PA⊥底面ABC，且PA2，则此三棱锥内切球的半径为 .

练习4、圆柱的底面直径和高都是6，求该圆柱内切球的半径 .

四、课堂小结：（写出自己的收获和疑惑）

本节课学习了以下内容：

内外切球如何确定球心求半径？

1、外接球的补形法、定义法，

2、内切球的等体积法，定义法，构造法。

五、课后作业：另附

球球心位置，半径关系，既能培养了学生的概括能力，又能营造民主和谐的师生关系。

培养学生运算能力及严谨的思维能力。

加强巩固基础知识的熟练程度。

及时掌握每个学生的认知程度和存在的问题，有利于课下个别辅导。

课五、课堂小结：（写出自己的收获和疑惑）

堂小本节课学习了以下内容：

结

内外切球如何确定球心求半径？

1、外接球的补形法、定义法，

2分2、内切球的等体积法，定义法，构造法。

钟

（生自行总结，一生口述）

布置作业

1分钟

作业：（另附）

简单几何体的外接球与内切球问题

二、内切球问题

确定简单多面体内切球的球心的如下结论．

板书设计

1、内切球球心到多面体各 的距离均相等，外接球球心到多面体各 的距离均相等。

一、外接球问题

（一）

由球的定义确定球心

2、正多面体的内切球和外接球的球心是否重合？

确定简单多面体外接球的球心的如下结论．

结论1：正方体或长方体的外接球的半径

为 ．

结论2：正棱柱的外接球的球心3、正棱锥的内切球和外接球球心是否都在高线上？是否重合？

是 . ．

结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形

的连线的 ．

结论4：正棱锥的外接球的球心在其 上，具体位置4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。

可通过计算找到．

5、体积分割是求内切球半径的通用做法。

结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的 就是其外接球的球心

。

学生板演：

学生板演：

教学反思

自主性：注重发展学生的个性,充分体现学生的主体地位.

实践性：通过学生展示,给学生提供了一个很好的思考数学的学习方式

可行性:

所教的班级是高三年级的实验班,学生具数学功底一般, 但具备一定的独立思考、合作探究能力.

有效性: 通过学生的练习与评析, 给学生提供了一个发现问题,讨论问题,解决问题的平台,为学生高效获取知识和提高综合素质创造条件. 我要努力打造还课堂与学生，在课堂教学中逐步在提升能力的过程中渗透社会主义核心价值观教育。在参与观察、实验、猜想、证明等活动中发展演绎推理能力，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的科学探究能力，养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯，形成严谨求实的科学态度。