小结主要内容及教案内容

立体几何高考复习策略

新都一中

肖宏

(学习提示：请你准备好三支不同颜色的笔) 一、近三年高考立体几何试题回顾

1、2016年全国课标卷1

题号

6

11

18

题号

7

16

18

题号

7

12

18

题号

6

14

19

题号

4

10

19

题号

9

16

20

题号

9

10

19

题号

8

圆柱与外接球的数量关系，体积

三视图，表面积

直三棱柱内切球，体积最大值

四棱锥中的线面关系，直线与平面平行的判定，直线与平面所成角，空间向量

考点

长方体中的异面直线所成角

线面角，圆锥中的线面关系，圆锥侧面积

三棱锥，线面垂直，直线与平面所成角

考点

三视图，不规则圆柱的体积

直三棱柱线面关系，异面直线所成角

四棱锥中的线面关系，线面平行的判定，线面角，二面角，空间向量

考点

三视图，圆锥与圆柱的表面积

空间线面关系的判定和性质

翻折问题，线面垂直的判定，二面角，空间向量

考点

圆柱，三视图，最短距离

直线与平面所成角，截面，面积最值

空间翻折问题，面面垂直，直线与平面所成角，空间向量

考点

三视图，表面积

图形的翻折问题，三棱锥体积，最值

四棱锥中的线面关系，面面垂直，二面角，空间向量

考点

三视图，部分、球的表面积和体积

特殊几何体正方体、中的线面关系，异面直线所成角

多面体中的线面关系，面面垂直，二面角，空间向量

考点

考点

分值

5

5

12

分值

5

5

12

分值

5

5

12

分值

5

5

12

分值

5

5

12

分值

5

5

12

分值

5

5

12

分值

5

难度

中

难

中

难度

中

难

中

难度

中

难

中

难度

中

中

中

难度

中

难

中

难度

中

难

中

难度

中

难

中

难度

中

2、2017年全国课标卷1

3、2018年全国课标卷1

4、2016年全国课标卷2

5、2017年全国课标卷2

6、2018年全国课标卷2

7、2016年全国课标卷3

8、2017年全国课标卷3

16

19

题号

3 10 19 空间直线和平面位置关系的判定和性质

空间几何体的线面关系，面面垂直，二面角，空间向量

考点

三视图，数学文化

球的内接三棱锥体积最大值

空间线面关系，面面垂直，二面角，空间向量

5

12

分值

5 5 12 难

中

难度

易

难

中

9、2018年全国课标卷3

二、考纲与考试要求：

学习立体几何的4个层次

直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算

空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力

对空间几何体的整体观察

了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法

利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征

能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图．

通过观察，了解空间图形的平行投影与中心投影不同表示形式．

完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图．

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．

原大纲教材：先点线面位置关系，再空间几何体

新课标教材：先空间几何体，再点线面位置关系

强调长方体模型作用

认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征

能画出简单空间图形的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.

会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.

会画某些建筑物的视图与直观图.

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

三、立体几何复习策略

(以理科生为例)坚持两条腿走路：几何法与坐标法

1、

几何法：牢记并能熟练运用立体几何中的定义、定理，可以改变记忆方式，以推导的结论分类，如能够推出“线线平行”的定理(包括常见结论)归为一类．通常，选填题以及解答题的第1小题用几何法会很方便．

(1)

几何法证明题要注意一些细节

证明平行和垂直问题，有两个地方最容易遗漏：

一是：证明线面平行，容易漏掉“直线不在平面内”

例1：(2017年6月成都市周边九校联考)

二是：证明线面垂直或者面面平行，容易漏掉“两直线相交”

•

例2：(2017年7月成都市摸底测试)

例3：（2018年7月成都市摸底测试）

要熟练记忆和使用平行与垂直的各种判定方法和性质(可参考本专题后面的附表)

(2)

巧妙割补，合理借用特殊几何体中的线面关系解题

正方体、长方体是首选

正棱柱、直棱柱次之

其他特殊多面体、旋转体也应在考虑之列

例4：请计算出下列几何体的体积

a a a `

2aa a a 2a2a2a2a2a例5：(2017年7月成都市摸底测试)

例6：在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a，那么这个球面的面积是_______.(1991年全国卷(20)3分)

例7：如图，已知点P是矩形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．

(1)求证：MN∥平面PAD；

(2)在PB上确定一个点Q，使平面MNQ∥平面PAD.

(3)

三色笔搞定三视图

已知三视图，如何还原成直观图，是很多同学的一个难点，这里介绍一种很好的方法，帮你解决这个问题．

请首先准备除黑色外的三种不同颜色的笔，比如红色、蓝色、绿色．

例8：根据下列三视图，还原几何体的直观图：

①

②

③

④

2、坐标法：坐标法主要用在求角，特别是二面角和线面角，也就是利用法向量解决问题．其中如何求一个平面的法向量是重点，教材上介绍了一种基本的方法，那就是设出法向量n＝(x，y，z)，利用n与平面内两个不共线的向量都垂直，于是数量积等于0，得到两个方程，再令其中某个未知量取某个特殊值，得到法向量n的一个非零解．这个方法适用于一般情况，但不算简练，后面会给大家补充几种求法向量的方法，供大家选择．

例9、(2017全国3卷)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最大值为60°．

其中正确的是________(填写所有正确结论的编号) 四、立体几何与其他知识的交汇

由于几何体在现实生活中随处可见，所以立体几何与其他数学(甚至非数学)知识点的结合

就显得非常容易，如概率统计、函数、不等式、解析几何、化学中的分子结构等等．

例10、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是面ABB1A1内一个动点，满足点P到直线AD的距离等于点P到平面A1B1C1D1的距离，则点P的轨迹是(

) A、线段

B、一段圆弧

C、一段抛物线

例11、如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，点P是面ABB1A1上一个动点，

且使得DP与BC1所成的角始终为30°，则点P的轨迹是（

）

A、圆的一部分

B、椭圆的一部分

C、双曲线的一部分

D、抛物线的一部分

变式：

将题目中的BC1改为BC，答案是什么？

把30°改为45°，答案又是什么？改为60°呢？

D A A1 D1 B1 C1

D、一段椭圆弧

P C B 例12、有红、黄、蓝、绿四种颜色的灯泡，每一种的只数足够多，现要在如图所示几何体ABC－A1B1C1的每个顶点安装一个彩灯，要求每一种颜色的彩灯都要有，且每一条线段的两端不安装同一种颜色的彩灯，求不同的彩灯安装方法种数．

五、补充两个有用的方法

1、空间坐标系下平面法向量的几种求法

预备知识一：空间坐标系中的平面方程

空间中，一个确定平面α上的点P(x，y，z)的坐标满足一个三元一次方程

Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C不同时为0)

这个方程就叫做空间中的平面方程，这个形式的方程也叫平面的一般式方程．

如果一个平面与三条坐标轴分别交于A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)，其中a，b，c均不为0，那么这个平面的方程为

＋

＋

＝1(截距式) （1）

如果一个平面的方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，那么它的一个法向量为n＝(A，B，C) （2）

如果一个平面与三条坐标轴分别交于A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)，其中a，b，c均不为0，那么这个平面的一个法向量为n＝(

，

，

) 预备知识二：行列式

（1）

二阶行列式：

＝a1b2－a2b1，叫做二阶行列式

＝a1b2c3＋b1c2a3＋c1a2b3－a1c2b3－b1a2c3－c1b2a3，叫做三阶行列式

（2）

向量的“外积(叉积)”

已知向量n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，那么

n1×n2＝(

，

，

)＝

两个向量的外积仍然是一个向量，这个向量与已知两个向量都垂直．

如果n1，n2是一个平面上不共线的两个向量，则它们的外积就是这个平面的法向量．

2、空间点到平面的距离

如果空间直角坐标系中，已知点P(x0，y0，z0)，平面α：Ax＋By＋Cz＋D＝0

则点P到平面α的距离d＝

＋

＋

＋

＋

＋

例13、(同前面例1，2017年6月成都市周边九校联考)

例14、(成都市2017届高三一诊试题)（备用）

例15、（备用）如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD，且AB＝4，BC＝5，AD＝8，E、F分别是AB与AD的中点（图一）。沿EF、EC、FC将△AEF、△BEC、△CDF向上翻折，使得A、B、D三点重合于点P（图二），求二面角P－CF－E的正弦值.

附：线线平行

定义：两条直线共面且没有公共点，则这两条直线平行

平行的判定

线面平行

面面平行

定义：两个平面没有公共点，则这两个平面平行

定义：直线与平面没有公共点，则直线与平面平行

a//c



a∥b(公理4) b//ca



a∥b

ba//aba∥α(判定定理) a//babb



a∥α

ababAα∥β(判定定理) a//b//aa



α∥β

a//a



a∥b

ba



a∥α

aa//b//b



a∥α

a//α∥β

//a



a∥b

b

→a＝λ→b



a∥b

a////



a∥α

a

说明：

本表收集了包括定义、定理和常见结论在内的立体几何常用结论，在使用时应注意：只有定义和定理(教材中用黑体字印出)才能在解答题中直接使用，常见结论不能在证明题中直接使用！

表中未列出的部分，同学们可以自行补充。

垂直的判定

线线垂直

定义：两条直线所成角为90°，则这两条直线垂直

线面垂直

定义：直线与平面内所有直线都垂直，则直线与平面垂直

面面垂直

定义：两个平面所成二面角为直角，则这两个平面垂直

ba//cb//d



a⊥b

cdcbcPa⊥α(判定定理) abac(判定定理) 三垂线定理：

b



a⊥α

aaba//



α⊥β

aab三垂线逆定理：

a



a⊥α

//cbcabac



α⊥β

Aaa⊥bb



b⊥c

c⊥ac



a⊥α

aa//b



a⊥α

bab



α⊥β

ababa,bbcb,c

cac,aa



a⊥b

b→→a·b＝0



a⊥b

六、课后练习

1．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(

) A．25

B．45

C．225

D．5

俯视图2正(主)视图111侧(左)视图2．在三棱锥PABC中，

PAPBPC6，

ACAB2，且ACAB，则该三棱锥外接球的表面积为( )

A. 4

B. 8

C. 16

D. 9

3．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过38，则该塔形中正方体的个数至少是(

)

A. 4个

B. 5个

C. 6个

D. 7个

4．如图，棱长为2的正四面体ABCD的三个顶点A,B,C分别在空间直角坐标系的坐标轴Ox,Oy,Oz上，则定点D的坐标为 (

)

A. 1,1,1

B. 2,2,2

C. 3,3,3

D. 2,2,2

5．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为( )

A.

B. 7

C.

D.

6．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(

) A．36π

B.64π

C.144π

D.256π

P作垂直于平面BB1D1D的直线，与7、如图，动点P在正方体ABCDA1BC11D1的对角线BD1上.过点正方体表面相交于M,N.设BPx,MNy，则函数yfx的图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

8．如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断：

①ED与NF所成的角为60②CN∥平面AFB

③BM//DE

④平面BDE∥平面NCF

其中正确判断的序号是(

)．

A. ①

③

B. ②

③

C. ①

②

④

D. ②

③

④

9．已知四面体ABCD中，

ABC,BCD都是边长为2的正三角形，当四面体ABCD的体积最大时，它的外接球的表面积为___________.

10．如图，等边三角形ABC的边长为4，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△AMN折起，使点A到A′的位置．若平面A′MN与平面MNCB垂直，则四棱锥A′MNCB的体积为________．

11．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的最大值是_________.

12．若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即ABCD,ACBD,ADBC,

给出下列结论：

①四面体ABCD每组对棱相互垂直；

②四面体ABCD每个面的面积相等；

③连接四面体ABCD每组对棱中点的连线相交于一点；

④从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于180；

其中正确结论的序号是__________．(写出所有正确结论的序号)

13．如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3.点E是CD边的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB. HDECGA图2FB

(1)证明：PEFG；

(2)求二面角P-AD-C的正切值；

(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值. 14．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点. (Ⅰ)求证：GF//平面ADE

；

(Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．，

15．如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形

ABCD为直角梯形，ABCBAD2P

，PAAD2,ABBC1

Q

A

B

C

D

(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；

(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长

16．如图1，在直角梯形ABCD中，

∠ADC＝90°，

CD∥AB

，

ADCD1AB2，

点E为AC2中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．

(1)若M为AB的中点，在CD上存在一点F，使DM∥平面EFB;求(2)求点C到平面ABD的距离.

参考答案：

1、C；2、D；3、B；4、A；5、B；6、C；7、B；8、C；

9、DF的值.

FC20； 10、3； 11、4； 12、②③；

313、(1)略(2)2795(3)； 14、(1)略(2)

325

315、(1)325126(2) 16、(1)；(2)．

2353