复习参考题教学设计实例

第四节

直线与圆、圆与圆的位置关系

高考对圆的方程的考查，一般是以小题的形式出现，也有与向量、圆锥曲线等相结合的问题．纵观近几年的高考试题，主要考查以下几个方面：一是考查圆的方程，要求利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决相关问题；二是考查直线与圆的位置关系，高考要求能熟练地解决圆的切线问题，弦长问题是高考热点，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关键．三是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.近几年多与圆锥曲线问题综合考查. 【重点难点突破】

考点1

直线与圆相切

【1-1】【2018届广东省深圳市南山区高三上入学】过点与圆相切于点，且，则，且倾斜角为的面积是( ) 的直线A. B. 【答案】B C. 1 D. 2 【解析】在直角三角形AOB中22

，选B. 【1-2】过点M3,2作圆O:xy4x2y40的切线方程是

．

【答案】y2或5x12y90

【解析】将圆的方程配方得：则直线方程为x3(x2)(y1)1.若直线的斜率不存在，22xy23k0.因为直线与圆相易知与圆不相切.设直线的方程为：y2k(x3)，即k切，所以2k123kk211，解之得k0或k5.所以切线的方程为：y2或125x12y90. 【领悟技法】

设圆的圆心为C(x0,y0)半径分别为r，直线的方程为AxByC0.若直线与圆相切，则圆心到直线的距离Ax0By0CAB22r，直线与圆相切的问题，往往用这个结论解题.

【触类旁通】

【变式一】设已知直线5x12ya0与圆x2xy0相切，则a的值为________.

22- 1 -

【答案】a8或18.

【解析】据题意得|51120a|512221，解之得a8或18. 2【变式二】已知直线l:2mx(1m)y4m40，若对任意mR，直线l与一定圆相切，则该定圆方程为 ．

【答案】x2y24

【解析】取特殊值m0,m1，三条直线分别为y4,x4,x0，这三条直线只与圆22(x2)2(y2)24都相切，经验证，对任意mR，直线l都与这个圆相切. 【综合点评】

1.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．

2.利用直线与圆相切，确定参数的值（范围），往往利用几何法较为简单. 考点2 直线与圆相交及弦长

【2-1】【2018届湖北省华师一附中高三9月调研】已知圆C：

xay24（a0）及直线l：

xy30，当直线l被C截得的弦长为23时，则a= （ ）

A. 2 B. 22 C. 21 D. 21

【答案】C 22a1【解析】由题意，得11故选C. 2324，解得a21，又因为a0，所以a21；【2-2】直线l经过点P(5,5)，且与圆C:xy25相交，截得弦长为45，求l的方程．

【答案】2xy50或x2y50

22【领悟技法】

1.

如下图所示，涉及直线与圆相交及弦长的题，都在RtAOB中，利用勾股定理，得半径弦长及弦心距之间的关系式.

- 2 -

OAB

2.弦长的计算：方法一、设圆的半径为R，圆心到直线的距离为d，则弦长l2R2d2. 方法二、设直线的斜率为k，直线与圆的交点坐标为P(x1,y1),Q(x2,y2)，则弦长PQx1x21k2y1y21【触类旁通】

1. 2k【变式一】【2016高考新课标Ⅲ文数】已知直线l：x3y60与圆x2y212交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点，则|CD|_____________. 【答案】4 【解析】由x3y60，得x3y6，代入圆的方程，并整理，得y233y60，解得y123,y23，所以x10,x23，所以|AB|(x1y2)2(y1y2)223．又直线l的倾斜角为30，由平面几何知识知在梯形ABDC中，|CD||AB|4．

cos30【变式二】已知M{(x,y)|y9x2,y0}，N{(x,y)|yxb}，若MN，则b的取值范围是 ．

【答案】3b32

【综合点评】

1.确定直线方程，往往依据斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线的距离求直线的斜率；

2.利用圆心到直线的距离可列方程求解；

3.利用几何法将弦长转化为圆心到直线的距离，是解答此类问题的常用方法．

4.利用数形结合思想，将问题灵活加以转化，往往能起到事半功倍的效果. 考点3 圆与圆的位置关系

【3-1】【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高考综合卷（一）】已知两点Aa,0，

Ba,0（a0），若曲线x2y223x2y30上存在点P，使得APB90，则正实数a

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的取值范围为（ ）

A. 0,3 B. 1,3 C. 2,3 D. 1,2

【答案】B 【解析】把圆的方程x2y223x2y30化为x32y11，以AB为直2径的圆的方程为x2y2a2，若曲线x2y223x2y30上存在点P，使得APB90，则两圆有交点，所以a12a1，解得1a3

，选B. 【3-2】已知圆C1:x2y22x6y10，圆C2:x2y24x2y110，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长． 【答案】3x4y60,24.

5

【领悟技法】

1.两圆公共弦的直线方程即为联立两圆方程消去二次项所得的二元一次方程；

2.求两圆的公共弦长，往往在一个圆中，应用勾股定理求解. 【触类旁通】

222【变式一】若圆xym与圆x2y26x8y110相切，求实数m的值．

【答案】m1或m11

22【解析】将x2y26x8y110配方得：(x3)(y4)36.由于两圆相切，故所以5m6或5m6，解之得m1dRr或dRr.圆心间的距离d5，或m11. 【变式二】已知圆C1：xy2kxk10和圆C2：xy2(k1)yk2k0，则当它们圆心之间的距离最短时，两圆的位置关系如何? 【答案】两圆相交

【解析】将xy2kxk10配方得：

(xk)y1.将22222222222x2y22(k1)yk22k0配方得：x2[y(k1)]21.两圆心间的距离为

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1122，其最小值等于.因为两圆的半径都为1，dk2[0(k1)]22(k)2222211211，所以两圆相交. 2【综合点评】

1.

比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得两圆的位置关系；

2.

两圆方程相减即得公共弦方程；

3.

公共弦长要通过解直角三角形获得．

考点4

直线、圆的位置关系的综合应用

【4-1】【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B 【解析】如图,设抛物线方程为y22px,AB,DE交x轴于C,F点,则AC22,即A点纵坐标为22,则A点横坐标为44,即OC,由勾股定理知ppp4DF2OF2DO2r2,AC2OC2AO2r2,即(5)2()2(22)2()2,解得2pp4,即C的焦点到准线的距离为4,故选B.

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