习题2.3ppt配套教案板书设计

立体几何垂直关系的应用教学设计

（新课标人教A版必修二

第二章

第3节习题2.3）

揭阳市惠来县第一中学 王纯

【内容分析】

《立体几何垂直关系的应用》是新课标人教A版高中数学必修二

第二章

第3节习题2.3的内容。垂直关系是立体几何的核心内容之一，也是高考的热点内容。垂直关系的综合应用，将证明与计算题联系起来，也为今后空间向量应用的研究打下基础。在知识体系中，它有着承上启下的作用，

在日常生活中，它也有广泛的应用。

【学情分析】

学生已学完了直线、平面垂直的位置关系，以及斜线与平面所成的角和简单几何体体积的求解等计算问题，为本节课的学习奠定了知识基础。该课由课本一道练习题引出，再通过以垂直作为主干线进行拓展，让学生领略垂直关系应用的重要性，以垂直为主干，通过变式练习来激发学生学习新知的兴趣和欲望。

该班学生，基础较好，自主意识强，有主动学习的愿望与能力。有好奇心、好胜心、进取心，思维活跃，善于互动。

【教学目的】 1.知识与技能：

会根据垂直的判定定理和性质定理证明垂直问题，将平面与平面的垂直问题、直线与平面的垂直问题，和直线与直线的垂直问题间的互相转化；会根据射影的定义准确地找到斜线在平面上的射影，继而找到直线和平面所成的角。

2.过程与方法：

通过学生观察，交流，质疑，总结，化归等，进一步内化空间问题平面化的数学思想方法。

3.情感、态度与价值观：

培养学生的直观想象，逻辑思维和数学运算等数学核心素养，发展积极思考，勇于探索的精神，提高数学学习的兴趣。

【教学重、难点】

重点：垂直关系的判定定理及性质定理的应用；

难点：垂直关系的综合应用及线面角的寻找。

【教法分析】

采用“问题探究式”教学法，以多媒体为辅助手段，让学生分析问题、解决问题，培养学生的探究论证、逻辑思维能力。

【教学用具】

多媒体技术辅助教学

1

【教学实施过程设计】

教学步骤

预计时间

（分）

复习：

教学内容

教师活动

1、

温故知新

揭示课题

a,b1.

线面垂直判定定理：abPc

ca,cb2分钟

强调：核心是垂直，相交和面内是辅助条件

提出问题，让学生回顾相关知识。多媒体播放相关知识点。

a2.

面面垂直判定定理：

a3.

线面垂直性质定理：bab

a问题1（人教版必修二第二章第三节习题2.3B组第一题）

如图，在正方体 −

′

′

′

′中，求证：

平面 ′

′⊥平面

′

变式（1）求证：BD⊥平面ACC’A’

2、

学以致用

强化理解

12分钟

2 提出问题，让学生讨论研究，引导学生将面面垂直问题转化为线面垂直

问题，最后由学生主动发言解答。培养学生空间想象能力。

引导学生

将线面垂直问题转化为线线垂直问题的证明，再由由学生分析问题，教师板书展现流程图，最后引导学生书写

小结：线面垂直问题，转化为线线垂直问题。而在线线垂直中应用了1.特殊图形的性质；2.线面垂直性质定理

设计意图：让学生学会应用线面垂直判定定理证明垂直问题，将问题分细，有利于学生更有方向完成。

变式(2)求证：平面 ′

′⊥平面

′

设计意图：回归原题，解答问题。培养学生不忘初衷的思维能力。

变式（3）AC’与平面A’BD是什么位置关系？

生：垂直

师：你能过证明该位置关系？

求证：AC’⊥平面A’BD 解答过程。培养学生逻辑推理能力。

引导学生自主解答

3、

探究新知

加深体会

10分钟

A'D'C'B'DOABC

总结：垂直的位置关系贯穿整题，分析平面A’BD各边的位置关系特点以及对角面的特点，从而引导学生证明A’D与AC’所在平面ABC’D’垂直。

设计意图：线面垂直问题可以转化为线线垂直问题，同时在证明线线垂直时，也经常将其转化为线面垂直的证明，让学生直观感受，并掌握其方法。

让学生讨论解答，培养学生交流分享的能力。通过学生交流后，让学生回答如何解答，教师板书流程图，再对其进行总结。培养学生逻辑思维及直观想象的核心素养。

3

变式（4）直线BC与平面ACC’A’是否垂直？

生：不会

师：为什么？

生：可以求其线面角

师：在有没有更直接的方法说明其不垂直？过一点有且

只有一条直线与已知平面垂直,而由（1）的BD⊥平面ACC’A’，所以直线BC与平面ACC’A’不垂直。

师：直线与平面有哪些位置关系？

生：垂直，平行，异面

师：异面是指直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系是平行，相交，面内；而垂直是相交的特殊情况，如果直线与平面相交但不垂直，我们又有另一问题可研究，即：

问题：若正方体的边长为2，求直线BC与平面ACC’A’所成的角。

复***面所成的角

4、

13分钟

拓展应用

强化理解

分析：

由学生分析问题，由于垂直贯穿于整道题，所以在找垂线是并不难，降低了该题的难度。同时培养学生的数学运算能力。

4

设计意图：在垂直证明的基础上，进行扩展，将证明与计算练习在一起，而垂直问题贯穿整题，使得该题的难度降低，让学生有信心解答该题，突破本节课的难点。

变式（5）若正方体的边长为2，求三棱锥A-A’BD的体积

回顾椎体体积公式V=Sh

分析：法一，有（3）的AC’⊥平面A’BD，所以可

以直接寻找点A到地面A’BD的高(难找，计算量大) 通过直接法和等体法二，等体积法

积法两种方法的引导，让学生感受数学的魅力，培养学生直观想象及数学运算能力，激发

总结：三棱锥有特殊的性质，即任何一点均可作为学生的学顶点，为求解体积问题提供简便的方法，即等体积法。

习兴趣。

设计意图：垂直问题与高有一定的联系，让学生学会应用垂直关系解决应用问题。

（6）若正方体的边长为2，求点A到平面A’BD的距离

法一：过点A作平面A’BD的高

法二：等体积法

设计意图：将垂直问题应用于求解高的问题，本小题是变式5的延伸。

让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，并为后续学习打下基础。

5、

及时小结

提炼升华

2分钟

3.数学思想：转化与化归思想

4.数学核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算

5

1.若正方体的边长为2，求直线AD与平面A’BD所成的角. 2. 如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形且AD2AB，平面PAD平面ABCD，PAD是等边三角形，点E是AD的中点．

6、

作业布置

生活数学

（Ⅰ）求证：BEPC；

1分钟

（Ⅱ）求直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值．

P激发学生的学习兴趣，加深学生垂直关系的应I用。

CD

EAB【板书设计】

2.3

立体几何垂直关系的应用

例题

1.2.小结：

练习

【教学设计框图】

（教学环节与预计时间）

1、温故知新，揭示课题（2分钟）

2、学以致用，强化理解（12分钟）

3、探究新知，加深体会（10分钟）

4、拓展应用，强化理解（13分钟）

5、及时小结，提炼升华（2分钟）

6、布置作业，生活数学（1分钟）

6